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	<title>Il Blog di Fabrizio Mondo</title>
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	<description>Don&#039;t hate the media.. become the media.</description>
	<lastBuildDate>Thu, 05 Aug 2010 10:22:03 +0000</lastBuildDate>
	<language>en</language>
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		<title>Universo Multimediale &#8211; Come vendere il piombo per oro</title>
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		<pubDate>Thu, 05 Aug 2010 09:29:58 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Truffe lavorative]]></category>

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		<description><![CDATA[Universo multimediale è un azienda presso la quale ho lavorato nel 2004/2005. Ci tengo a scrivere questo articolo per raccontare, ad anni di distanza, le dinamiche lavorative di questa azienda, in cui sono andato a finire. Questo articolo verterà solo sulle dinamiche aziendali viste dal punto di vista della cosiddetta ultima ruota del carro, quale [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://www.ecodimilano.com/data/ecodimilano/computer.gif" alt="" width="133" height="144" align="left" />Universo multimediale è un azienda presso la quale ho lavorato nel 2004/2005. Ci tengo a scrivere questo articolo per raccontare, ad anni di distanza, le dinamiche lavorative di questa azienda, in cui sono andato a finire.</p>
<p>Questo articolo verterà <strong>solo sulle dinamiche aziendali</strong> viste dal punto di vista  della cosiddetta ultima ruota del carro, quale io ero. Sono relegate ai commenti e ad eventuali richieste, le mie movenze e le mie avventure quotidiane e pratiche all&#8217;interno dell&#8217;azienda (o forse ad un altro articolo).</p>
<p>L&#8217;azienda si occupa di vendita di materiale informatico, in particolare computer ed enciclopedie su cd o dvd, ma quello che è interessante è scoprire il COME tutto ciò viene venduto.</p>
<p>Per spiegare ciò dobbiamo fare una panoramica più ampia del lavoro settimanale dell&#8217;azienda.</p>
<p>Ad inizio settimana lavorativa, alcuni dipendenti dell&#8217;azienda si recano in una scuola (meglio se in provincia che non in una grande città) e distribuiscono ai bambini all&#8217;uscita da scuola delle brochure colorabili in cui c&#8217;è scritto che compilando un modulo con nome cognome e numero di telefono, e facendo un disegnino, si sarebbe potuto vincere un premio.</p>
<p>I bambini lo prendono, lo colorano, lo compilano, e lo restituiscono l&#8217;indomani alle stesse persone, che hanno così recuperato un gran numero di disegni con nominativi.</p>
<p>A questo punto tutte queste schede vanno ad un call center che provvederà a chiamare TUTTI i bambini indistintamente a prescindere dal disegno fatto. Il call center non da nessunissima informazione su niente, dice solo a ciascuna famiglia che il disegno è stato scelto e che hanno vinto un premio. Per ritirare il premio, devono recarsi in un albergo, dove cominciava il mio lavoro.</p>
<p>Le famiglie venivano fatte accomodare e si spiegava loro che per avere il premio, il bambino o la bambina doveva prima assistere ad una &#8220;presentazione pubblicitaria&#8221; che in realtà era un tentativo di vendita abbastanza energico.</p>
<p>Tutti i trucchi che venivano utilizzati per vendere non sono oggetto di questo articolo, ma di successivi in cui spiegherò cosa facevo nel dettaglio ad ogni party.</p>
<p>Se il tentativo di vendita andava a buon fine, si faceva firmare alla famiglia un contratto di vendita di un enciclopedia multimediale su cd, ad un prezzo che nessun essere dotato di senno avrebbe mai accettato. </p>
<p>Il prezzo veniva proposto rateizzato a condizioni che poi si sarebbero rivelate non vere, vedrete ora perchè dico questo.</p>
<p>Nel caso in cui la famiglia non avesse avuto un pc, la vendita cambiava, aumentando di prezzo il tutto. Si arrivava a proporre un pc (di potenza e qualità discutibile) con un&#8217;enciclopedia, anche a 4788 euro.</p>
<p>Se la famiglia firmava il contratto, veniva accompagnata alla macchina e veniva fissato un appuntamento per la consegna del tutto, mentre se la famiglia non accettava, veniva dato un regalino (valore commerciale un euro) al bambino, e accompagnati in macchina cercando di evitare che le persone parlassero tra loro.</p>
<p>Il party finiva, e si faceva il conto dei contratti firmati.</p>
<p>A partire dall&#8217;indomani, cominciava la fase consegna, quella che tutti i venditori del party attendevano con maggiore ansia.</p>
<p>Il consegnatario con una spallina che si occupava di montare il computer o installare l&#8217;enciclopedia (lavoro che ho fatto anche io) si occupava di effettuare il VERO contratto, ovvero quello con la finanziaria.</p>
<p>Se il contratto con la finanziaria veniva firmato, la famiglia era vincolata a pagare quanto dichiarato dal contratto. La maggior parte delle volte, qualora la finanziaria potesse davvero fare una rateizzazione per la persona, si vedevano condizioni di pagamento TOTALMENTE diverse rispetto a quelle proposte in sede di vendita al party.</p>
<p>Ricapitoliamo le fasi di lavoro:</p>
<ol>
<li>Consegna schede ai bambini a scuola</li>
<li>Ritiro schede e raccolta nominativi</li>
<li>Consegna nominativi al call center</li>
<li>Assegnazione appuntamenti alle famiglie</li>
<li>Party aziendale con proposte di vendita</li>
<li>Validazione credenziali bancarie degli acquirenti</li>
<li>Consegna Pc e/o enciclopedia</li>
<li>Firma contratto di rateizzazzione tramite prestito personale</li>
</ol>
<p>Il tutto comincia facendo credere ai bambini di avere vinto un premio, e finisce con una famiglia che, se non sa farsi valere o non capisce di cosa si sta trattando, si inguaia a volte anche per 60 mesi per un pc che spesso, prima era stato utilizzato al party per mostrare come funzionava la stessa enciclopedia.</p><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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		</item>
		<item>
		<title>Come convolvere una funzione qualsiasi con una funzione rect</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/07/25/come-convolvere-una-funzione-qualsiasi-con-una-funzione-rect/</link>
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		<pubDate>Sun, 25 Jul 2010 13:30:14 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Articoli didattici.. o quasi!]]></category>

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		<description><![CDATA[Questo articolo riguarda la teoria dei segnali, un campo dello scibile ovviamente fondamentale per chi (come me!) vuole diventare un professionista nel campo delle telecomunicazioni. Questo articolo parla di convoluzione, un operazione che per chi è nel campo dell&#8217;ingegneria dell&#8217;informazione, deve essere automatica come il fare le addizioni. Supponiamo di dovere convolvere questi due segnali: [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Rectangular_function.svg/800px-Rectangular_function.svg.png" alt="RECT!" width="87" height="65" /><br />
Questo articolo riguarda la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_segnali">teoria dei segnali</a>, un campo dello scibile ovviamente fondamentale per chi (come me!) vuole diventare un professionista nel campo delle telecomunicazioni.</p>
<p>Questo articolo parla di <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione">convoluzione</a>, un operazione che per chi è nel campo dell&#8217;ingegneria dell&#8217;informazione, deve essere automatica come il fare le addizioni.</p>
<p>Supponiamo di dovere convolvere questi due segnali:<br />
<img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/2D-plot 1-4.jpg" alt="Primo segnale" align="center" /></p>
<p>analiticamente descritto da:</p>
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/14bb4dd4841abb1c0485852bfbf681ce.png" alt="Analitico" align="center" /></p>
<p>E una semplice funzione rettangolo:</p>
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/2D-plot 1-5.jpg" alt="Primo segnale" align="center" /></p>
<p>definita da questa casistica:</p>
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/e7d7f77add8338e292c2267116d85bde.png" alt="Analitico" align="center" /></p>
<p>Per effettuare la convoluzione tra i due segnali possiamo agire in più modi.</p>
<li><strong>Il primo modo è utilizzare la definizione, scopriremo che in questo caso, è il modo più complicato.</strong>La definizione di convoluzione tra due segnali è la seguente:
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/86fbbd4ed23992fed2dd6f32fc6bc2cd.png" alt="Analitico" align="center" /></p>
<p>In questo caso, tutto si riduce a muovere una rect da meno infinito a più infinito e effettuare, istante per istante con continuità, il prodotto tra i due segnali, e quindi integrare.</p>
<p>Il grafico dell&#8217;integrale del prodotto, istante per istante, darà la funzione di convoluzione tra i due segnali.</p>
<p>Possiamo notare che sicuramente, se i due supporti non si intersecano, il loro prodotto è nullo, per cui si avrà convoluzione da quando la finestra rect tocca l&#8217;altro segnale, a quando si stacca, dopo averlo attraversato. Ciò giustifica visivamente il perchè la convoluzione abbia supporto pari alla somma dei supporti dei segnali di partenza.</p>
<p>Convolvere questi due segnali tramite la definizione è abbastanza semplice, data la natura della rect, ma è possibile operare in modo molto più semplice, vediamo come.</li>
<li><strong>Il secondo  modo è utilizzare la proprietà di derivazione e di elemento neutro della delta di dirac.</strong></li>
<p>La regola di derivazione ci dice che la derivata della convoluzione si ottiene convolvendo uno dei due segnali con l&#8217;altro derivato.</p>
<p>Deriviamo allora la rect:</p>
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/2D-plot 1-6.jpg" alt="Derivata della rect" align="center" /></p>
<p>Otteniamo due delta di dirac (rappresentate dalle frecce) che, da letteratura, sappiamo che sono elementi neutri della convoluzione.</p>
<p>Tutto adesso si riduce a dovere banalmente SOMMARE il segnale di partenza, traslato di -2, e lo stesso segnale di partenza, traslato di più due e <em>ribaltato</em>.</p>
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/2D-plot 1-7.jpg" alt="Segnali sovrapposti" align="center" /></p>
<p>Adesso sommiamo i due segnali&#8230;</p>
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/2D-plot 1-8.jpg" alt="Segnali sommati" align="center" /></p>
<p>Adesso occorre soltanto integrare!</p>
<p><img src="http://www.fabriziomondo.com/storage/TDS/convoluzione/2D-plot 1-9.jpg" alt="Convoluzione finale" align="center" /></p>
<p>P.S le immagini hanno degli errori e la convoluzione potrebbe non essere numericamente esatta. Il procedimento è perfettamente coerente, provvederò a sistemare al più presto le cifre.</p><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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		</item>
		<item>
		<title>Come creare una web radio con Linux, Icecast e Ices2 (Guida avanzata) &#8211; Ices-Alsa</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/05/03/come-creare-una-web-radio-con-linux-icecast-e-ices2-guida-avanzata-ices-alsa/</link>
		<comments>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/05/03/come-creare-una-web-radio-con-linux-icecast-e-ices2-guida-avanzata-ices-alsa/#comments</comments>
		<pubDate>Mon, 03 May 2010 13:59:29 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Web Radio]]></category>

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		<description><![CDATA[Settantasettesimo articolo dedicato alle web radio. Cominciamo le guide avanzate dedicate ad icecast su linux, studiando i file XML di esempio che vengono forniti a corredo con ices2. E&#8217; chiaro che il server icecast può non essere utilizzato necessariamente con ices2, ma in questo caso, risulta secondariamente necessario alla trasmissione (quantomeno per passare da un [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://www.gentoo.org/images/docs/alsa-mixermuted.png" alt="Alsamixer" width="275" height="136" /><br />
Settantasettesimo articolo dedicato alle web radio.</p>
<p>Cominciamo le guide avanzate dedicate ad icecast su linux, studiando i file <acronym title="eXtensible Markup Language">XML</acronym> di esempio che vengono forniti a corredo con ices2.</p>
<p>E&#8217; chiaro che il server icecast può non essere utilizzato necessariamente con ices2, ma in questo caso, risulta secondariamente necessario alla trasmissione (quantomeno per passare da un livello amatoriale ad uno semi-professionale)  conoscere e sapere manipolare i file di configurazione, che in questo caso sono del tipo Extensive Markup Language.</p>
<p>Il primo di questi file che considereremo è quello dedicato allo streaming da <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Advanced_Linux_Sound_Architecture">ALSA</a>.  Alsa sta per Advanced Linux Sound Architecture e contraddistingue in questo caso una modalità di streaming improntata sul live o sull&#8217;ingresso della scheda audio, ad esempio un banale simulcasting.</p>
<p>Andiamo quindi a considerare le parti di questo file, che è meglio ricordare, si trova in <strong>/usr/share/doc/ices2/examples</strong></p>
<p>La prima parte del file è questa:<br />
<center></p>
<div class="codecolorer-container xml default" style="overflow:auto;white-space:nowrap;border:1px solid #9F9F9F;width:435px;"><div class="xml codecolorer" style="padding:5px;font:normal 12px/1.4em Monaco, Lucida Console, monospace;white-space:nowrap">&nbsp; &nbsp; <span style="color: #808080; font-style: italic;">&lt;!-- run in background &nbsp;--&gt;</span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;background<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span>0<span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;/background<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #808080; font-style: italic;">&lt;!-- where logs go. --&gt;</span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;logpath<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span>/var/log/ices<span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;/logpath<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;logfile<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span>ices.log<span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;/logfile<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #808080; font-style: italic;">&lt;!-- size in kilobytes --&gt;</span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;logsize<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span>2048<span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;/logsize<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #808080; font-style: italic;">&lt;!-- 1=error, 2=warn, 3=infoa ,4=debug --&gt;</span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;loglevel<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span>4<span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;/loglevel<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #808080; font-style: italic;">&lt;!-- logfile is ignored if this is set to 1 --&gt;</span><br />
&nbsp; &nbsp; <span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;consolelog<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span>0<span style="color: #009900;"><span style="color: #000000; font-weight: bold;">&lt;/consolelog<span style="color: #000000; font-weight: bold;">&gt;</span></span></span></div></div>
<p></center></p>
<p>Il tag <strong>background</strong> va settato ad 1 se si vuole porre ices in background.</p>
<p>Il tag <strong>logpath</strong> identifica una directory che può essere scritta dall&#8217;utente che ices2 sta identificando. Può essere piazzata ovunque, ma chiaramente devono essere abilitati i permessi di scrittura.</p>
<p>Il tag <strong>logfile</strong> identifica il nome del file di log. Alla riapertura del log file l&#8217;esistente viene rinominato come &#8220;logfile&#8221;.1</p>
<p>Il tag <strong>logsize</strong> indica la massima grandezza del file di log prima di andare in modalità ciclica di scrittura.</p>
<p>Il tag <strong>loglevel</strong> Indica un numero che rappresenta il livello di logging  prescelto.<br />
1 &#8211; Loggati solo i messaggi d&#8217;errore<br />
2 &#8211; Come il punto uno, ma anche i Warnings verranno loggati<br />
3 &#8211; Come il punto due, ma anche i messaggi informativi verranno loggati.<br />
4 &#8211; Come il punto tre, ma anche i messaggi di debug verranno loggati.</p>
<p>Il tag <strong>consolelog</strong>, se impostato ad 1 causa l&#8217;apparizione dei messaggi loggati in console, piuttosto che in un log file. </p>
<p>Nelle applicazioni più sensibili al ritardo (tra cui OVVIAMENTE una radio), è sconsigliato avere logging in console. E&#8217; un opzione utile in fase di studio del software.</p>
<p>Il tag <strong>pidfile</strong> consente di creare un file in cui è scritto il ProcessID del processo ices2 corrente.</p>
<p>Veniamo adesso alla sezione stream.</p>
<p>La sezione stream è composta da tre sottoparti, chiamate <b>metadata</b>, <b>input</b> e <b>instance</b>.</p>
<p>Esaminiamole tutte e tre nel dettaglio.</p>
<p><b>Metadata</b> intuitivamente si capisce già su cosa abbia influenza, ovvero si occupa di trasmettere tutti i dati a corredo della trasmissione stessa.</p>
<p>Le sue sottoparti sono nome, genere, descrizione e url, esattamente gli stessi campi che si trovano in generale nei server shoutcast, ma in realtà praticamente in tutti.</p>
<p><b>Input</b> invece tratta la parte hardware della trasmissione, vediamo come.</p>
<p>Module, ci indica di scegliere quale modulo hardware stiamo trattando, qui si parla di alsa, per cui scriviamo alsa.</p>
<p>I successivi parametri sono rate, channels, device e i metadata.</p>
<p>Rate indica la frequenza di campionamento del segnale analogico di partenza. E&#8217; normalmente settata a 44100 hertz, se non sapete come mai, vi invito caldamente a leggere il <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_campionamento_di_Nyquist-Shannon">teorema divino</a>.</p>
<p>Channels indica se vogliamo una trasmissione mono o stereo.</p>
<p>Device indica la posizione della scheda audio nell&#8217;elenco delle periferiche del nostro sistema.</p>
<p>Metadata e metadatafilename rappresentano uno switch di scrittura e un nome file dove vengono scritti i metadati.</p>
<p><b>Istance</b> rappresenta la generica istanza di trasmissione. Dico &#8220;generica&#8221; in quanto, se conoscete il software di cui stiamo parlando, o avete letto altri articoli (non per forza di questo blog) su ices2, saprete che è un source multi-instanziabile, ovvero ha la possibilità di trasmettere, a differenza di molti software per shoutcast ad esempio, lo stesso stream a più server contemporaneamente.</p>
<p>hostname indica l&#8217;indirizzo ip del server da contattare, può essere sia un ipv4 che ipv6.</p>
<p>port indica la porta del processo sul server da contattare, vi ricordo che si comunica in tcp.</p>
<p>password non necessità spiegazioni</p>
<p>mount, identifica il cosidetto mountpoint, ovvero un particolare stream in un singolo server icecast, che può trasmettere più stream contemporaneamente.</p>
<p>yp è uno switch che abilita o disabilita la visione pubblica dell&#8217;emittente.</p>
<p>La sezione Encode indica i parametri di codifica dello stream, che devono matchare chiaramente quelli impostati in hardware nella sezione precedente.</p>
<p>Il tag downmix è uno switch che indica se, in caso di necessità, si preferisce diminuire il numero di canali da due ad uno, ovvero passare da stereo a mono.</p>
<p>La sezione Resample definisce la frequenza in hertz a cui passare in caso ad esempio di problemi di rete. Tipicamente si preferisce passare ad un valore pari alla metà della frequenza di partenza. Ricordatevi sempre che sempre per il teorema divino, se volete ricostruire senza aliasing un segnale che ha banda N hertz, avete bisogno di una frequenza di campionamento NON INFERIORE a 2N hertz. Quindi avere 22050 hertz di frequenza di campionamento, consente di sentire discretamente una banda di 10000 hertz. Sufficiente per il parlato ma non certo per la marcia turca di mozart.</p>
<p>Con questa sezione finisce la parte alsa, vedremo nei prossimi articoli di considerare anche le altre opzioni possibili, ovvero <acronym title="Open Source Software">OSS</acronym> e una playlist.</p><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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		</item>
		<item>
		<title>Come creare una web radio con Linux, Icecast e Ices2 (Guida basilare)</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/02/20/come-creare-una-web-radio-con-linux-icecast-e-ices2-guida-basilare/</link>
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		<pubDate>Sat, 20 Feb 2010 18:38:58 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Web Radio]]></category>
		<category><![CDATA[Configurazioni]]></category>
		<category><![CDATA[Icecast]]></category>
		<category><![CDATA[Ices2]]></category>
		<category><![CDATA[Linux]]></category>
		<category><![CDATA[Ogg]]></category>
		<category><![CDATA[Streaming]]></category>

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		<description><![CDATA[Settantaseiesimo articolo dedicato alle web radio Carissimi internauti vi ricordate di questo articolo? In quell&#8217;articolo si parlava di Icecast, un server di streaming rilasciato con licenza GPL e che permette lo streaming audio/video dei file Ogg, sia Vorbis che Theora. Lo abbiamo introdotto in ambiente windows, adesso, vedremo di parlarne anche in ambiente linux. Cominceremo [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://wam.flyer.it/Immagini_correlate/cubetti.jpg" alt="Icecast" width="144" height="108" />Settantaseiesimo articolo dedicato alle web radio</p>
<p>Carissimi internauti vi ricordate di <a href="http://www.fabriziomondo.com/blog/2007/05/09/come-creare-una-web-radio-con-windows-winamp-e-icecast-guida-basilare/">questo articolo</a>?</p>
<p>In quell&#8217;articolo si parlava di <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Icecast">Icecast</a>, un server di streaming rilasciato con licenza <acronym title="GNU General Public License">GPL</acronym> e che permette lo streaming audio/video dei file Ogg, sia Vorbis che Theora. Lo abbiamo introdotto in ambiente windows, adesso, vedremo di parlarne anche in ambiente linux.</p>
<p>Cominceremo dall&#8217;inizio, ovvero dall&#8217;installazione dei componenti fino all&#8217;effettiva messa in onda della radio. Successivamente, in una guida avanzata, procederemo a vagliare e valutare tutte le possibili opzioni. Per adesso, mettiamo in moto la nostra radiolina linuxiana.</p>
<p><strong><em>Supponiamo di lavorare su una debian-based</em></strong></p>
<div class="codecolorer-container text default" style="overflow:auto;white-space:nowrap;border:1px solid #9F9F9F;width:435px;"><div class="text codecolorer" style="padding:5px;font:normal 12px/1.4em Monaco, Lucida Console, monospace;white-space:nowrap">apt-get install icecast ices2</div></div>
<p>Una volta installati i due programmi, effettuiamo una modifica al file <strong>/etc/default/icecast2</strong> tramite un qualsiasi editor di testo modificando il parametro ENABLE, da false a true. Ciò permetterà di potere effettuare la prossima operazione.</p>
<p>Facciamo partire il nostro server icecast2 tramite il comando:</p>
<div class="codecolorer-container text default" style="overflow:auto;white-space:nowrap;border:1px solid #9F9F9F;width:435px;"><div class="text codecolorer" style="padding:5px;font:normal 12px/1.4em Monaco, Lucida Console, monospace;white-space:nowrap">/etc/init.d/icecast2 start</div></div>
<p>Potremo quindi trovare l&#8217;interfaccia web, comprensiva di pannello di amministrazione, all&#8217;indirizzo http://localhost:8000<br />
Studieremo successivamente le peculiarità web di questo server di streaming,</p>
<p>In questo momento abbiamo il nostro server di streaming funzionante (almeno in locale) e possiamo cominciare a lavorare su ICES2.</p>
<p>Ices2 è:</p>
<blockquote><p> usato per fornire a server audio streaming Icecast2 flussi<br />
audio Ogg Vorbis. Supporta sia input audio live dalla scheda audio, sia la<br />
ricodifica di file Ogg Vorbis da una scaletta. </p></blockquote>
<p>Creiamo tre cartelle da terminale:</p>
<div class="codecolorer-container text default" style="overflow:auto;white-space:nowrap;border:1px solid #9F9F9F;width:435px;"><div class="text codecolorer" style="padding:5px;font:normal 12px/1.4em Monaco, Lucida Console, monospace;white-space:nowrap">mkdir /var/log/ices<br />
mkdir /etc/ices2<br />
mkdir /etc/ices2/music</div></div>
<p>La prima servirà a contenere i log, la seconda servirà invece a contenere i file di configurazione mentre la terza conterrà i file musicali.</p>
<p>All&#8217;interno della cartella <strong>/usr/share/doc/ices2/examples/</strong> si trovano tre files:</p>
<div class="codecolorer-container text default" style="overflow:auto;white-space:nowrap;border:1px solid #9F9F9F;width:435px;"><div class="text codecolorer" style="padding:5px;font:normal 12px/1.4em Monaco, Lucida Console, monospace;white-space:nowrap">-rw-r--r-- 1 root root 3426 2005-01-03 05:07 ices-alsa.xml<br />
-rw-r--r-- 1 root root 3427 2005-01-03 21:39 ices-oss.xml<br />
-rw-r--r-- 1 root root 4245 2004-07-19 23:53 ices-playlist.xml</div></div>
<p>I tre files corrispondono alle tre modalità di streaming, ovvero tramite ALSA (Advanced Linux Sound Architecture) oppure <acronym title="Open Source Software">OSS</acronym> (Open sound system) oppure tramite una playlist di file OGG, che è il caso che tratteremo in questa guida basilare.</p>
<p>Copiamo il file <strong>ices-playlist.xml</strong> all&#8217;interno della cartella <strong>/etc/ices2</strong> ad esempio con il comando</p>
<div class="codecolorer-container text default" style="overflow:auto;white-space:nowrap;border:1px solid #9F9F9F;width:435px;"><div class="text codecolorer" style="padding:5px;font:normal 12px/1.4em Monaco, Lucida Console, monospace;white-space:nowrap">cp /usr/share/doc/ices2/examples/ices-playlist.xml /etc/ices2</div></div>
<p>a questo punto dobbiamo verificare che vi sia <em>matching perfetto</em> tra la password impostata su ices2 e quella del server icecast, come del resto avviene per qualsiasi accoppiata, encoder/server.</p>
<p>La password del server di streaming icecast2 si trova nel file <strong> /etc/icecast2/icecast.xml</strong> alla sezione AUTHENTICATION.<br />
La password da impostare in ices2, che deve chiaramente essere uguale a quella (per adesso di default) del server icecast2, è nella sezione INSTANCE del file ices-playlist.xml.</p>
<p>Penseremo a tutti i parametri opzionali (tra cui anche la modifica delle password) nella guida avanzata. Per adesso il nostro unico obiettivo è quello di mettere (almeno localmente) la radio in trasmissione.</p>
<p>Dopo avere controllato la corrispondenza tra le password passiamo al riempimento della cartella music, precedentemente impostata con i file ogg vorbis che ci interessa trasmettere.</p>
<p>Una volta riempita la cartella music, creiamo il file playlist.txt all&#8217;interno della cartella <strong>/etc/ices2</strong> e scriviamo una riga per ciascun file OGG che dobbiamo trasmettere, con tanto di PATH completo.</p>
<p>Una volta creato il file, startiamo ices2 con il seguente comando:</p>
<div class="codecolorer-container text default" style="overflow:auto;white-space:nowrap;border:1px solid #9F9F9F;width:435px;"><div class="text codecolorer" style="padding:5px;font:normal 12px/1.4em Monaco, Lucida Console, monospace;white-space:nowrap">ices2 /etc/ices2/ices-playlist.xml</div></div>
<p>In questo modo il server icecast avrà come mountpoint il flusso creato da ices2.</p><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
			<wfw:commentRss>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/02/20/come-creare-una-web-radio-con-linux-icecast-e-ices2-guida-basilare/feed/</wfw:commentRss>
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		</item>
		<item>
		<title>Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/esempio-di-risoluzione-equazione-differenziale-lineare-del-secondo-ordine-a-coefficenti-costanti-con-il-metodo-di-variazione-delle-costanti/</link>
		<comments>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/esempio-di-risoluzione-equazione-differenziale-lineare-del-secondo-ordine-a-coefficenti-costanti-con-il-metodo-di-variazione-delle-costanti/#comments</comments>
		<pubDate>Tue, 19 Jan 2010 13:50:24 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Articoli didattici.. o quasi!]]></category>
		<category><![CDATA[About me]]></category>
		<category><![CDATA[Analisi matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Equazione Differenziale]]></category>
		<category><![CDATA[Matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Università]]></category>

		<guid isPermaLink="false">http://www.fabriziomondo.com/blog/?p=723</guid>
		<description><![CDATA[Ecco l&#8217;esempio di cui parlavo Supponiamo di avere: L&#8217;equazione omogenea associata è . L&#8217;equazione caratteristica è che ha Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo. Quindi occorre trovare i numeri in modo da avere: Le costanti c devono verificare il sistema: Abbiamo che: utilizzando la regola di Cramer, possiamo ricavare Integriamo entrambi i coefficienti: [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://www.pnlpratica.com/blog/wp-content/uploads/2009/04/lezione.jpg" alt="" width="173" height="113" />Ecco l&#8217;esempio di cui <a href="http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-non-omogenee-tramite-il-metodo-di-variazione-delle-costanti/">parlavo</a></p>
<p>Supponiamo di avere:<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%27%27%20%2B%20y%27%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28x%29%7D%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='y&#039;&#039; + y&#039; = \frac{1}{\sin(x)} ' title='y&#039;&#039; + y&#039; = \frac{1}{\sin(x)} ' class='latex' /><br />
L&#8217;equazione omogenea associata è <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%27%27%20%2B%20y%27%20%3D%200%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='y&#039;&#039; + y&#039; = 0 ' title='y&#039;&#039; + y&#039; = 0 ' class='latex' />.  L&#8217;equazione caratteristica è <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda%5E2%20%2B%201%20%3D%200%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\lambda^2 + 1 = 0 ' title='\lambda^2 + 1 = 0 ' class='latex' /> che ha <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5CDelta%20%3C%200%20%3D%20%5Csqrt%7B-4%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\Delta &lt; 0 = \sqrt{-4}' title='\Delta &lt; 0 = \sqrt{-4}' class='latex' /></p>
<p>Rientriamo nel terzo caso descritto in <a href="http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-omogenee/">questo articolo</a>.</p>
<p>Quindi occorre trovare i numeri <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Calpha%20%3D%200%20%5Cquad%20%5Cbeta%20%3D%201%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\alpha = 0 \quad \beta = 1 ' title='\alpha = 0 \quad \beta = 1 ' class='latex' /> in modo da avere:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c_1%5Ccos%28x%29%20%2B%20c_2%5Csin%28x%29%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c_1\cos(x) + c_2\sin(x) ' title='c_1\cos(x) + c_2\sin(x) ' class='latex' />
<p>Le costanti c devono verificare il sistema:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20c%27_1%28x%29%5Ccos%28x%29%20%2B%20c%27_2%28x%29sin%28x%29%20%3D%200%20%5C%5C%20%20-c%27_1%28x%29%5Csin%28x%29%20%2B%20c%27_2%28x%29cos%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28x%29%7D%20%20%20%20%5Cend%7Bcases%7D%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='\begin{cases}  c&#039;_1(x)\cos(x) + c&#039;_2(x)sin(x) = 0 \\  -c&#039;_1(x)\sin(x) + c&#039;_2(x)cos(x) = \frac{1}{\sin(x)}    \end{cases} ' title='\begin{cases}  c&#039;_1(x)\cos(x) + c&#039;_2(x)sin(x) = 0 \\  -c&#039;_1(x)\sin(x) + c&#039;_2(x)cos(x) = \frac{1}{\sin(x)}    \end{cases} ' class='latex' />
<p>Abbiamo che:<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=W%28x%29%20%3D%20%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Ccos%28x%29%20%26%20%5Csin%28x%29%20%5C%5C%20-%5Csin%28x%29%20%26%20cos%28x%29%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Ccos%5E2%28x%29%20%2B%20%5Csin%5E2%28x%29%20%3D%201%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='W(x) =  \begin{bmatrix} \cos(x) &amp; \sin(x) \\ -\sin(x) &amp; cos(x) \end{bmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 ' title='W(x) =  \begin{bmatrix} \cos(x) &amp; \sin(x) \\ -\sin(x) &amp; cos(x) \end{bmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 ' class='latex' /></p>
<p>utilizzando la <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Cramer">regola di Cramer</a>, possiamo ricavare <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%27_%7B1%2C2%7D%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c&#039;_{1,2} ' title='c&#039;_{1,2} ' class='latex' /></p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%27_1%20%3D%201%20%5Cquad%20c%27_2%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos%28x%29%7D%7B%5Csin%28x%29%7D%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c&#039;_1 = 1 \quad c&#039;_2 = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ' title='c&#039;_1 = 1 \quad c&#039;_2 = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ' class='latex' />
<p>Integriamo entrambi i coefficienti:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%20c_1%20%3D%20%5Cint%20c%27_1%28x%29%5C%2C%20dx%20%3D%20-x%20%5C%5C%20%20c_2%20%3D%20%5Cint%20c%27_2%28x%29%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Clog%20%5Clvert%5Csin%28x%29%5Crvert%20%20%20%20%5Cend%7Bcases%7D%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='\begin{cases} c_1 = \int c&#039;_1(x)\, dx = -x \\  c_2 = \int c&#039;_2(x)\, dx = \log \lvert\sin(x)\rvert    \end{cases} ' title='\begin{cases} c_1 = \int c&#039;_1(x)\, dx = -x \\  c_2 = \int c&#039;_2(x)\, dx = \log \lvert\sin(x)\rvert    \end{cases} ' class='latex' />
<p>Sostituiamo i coefficienti nell&#8217;equazione di partenza e otterremo la soluzione particolare dell&#8217;equazione non omogenea di partenza, ovvero:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%28x%29%20%3D%20x%5Ccos%28x%29%20%2B%20%5Csin%28x%29%5Clog%20%5Clvert%5Csin%28x%29%5Crvert%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=0000ff&#038;s=3' alt='y(x) = x\cos(x) + \sin(x)\log \lvert\sin(x)\rvert ' title='y(x) = x\cos(x) + \sin(x)\log \lvert\sin(x)\rvert ' class='latex' /><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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		</item>
		<item>
		<title>Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee tramite il metodo di variazione delle costanti</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-non-omogenee-tramite-il-metodo-di-variazione-delle-costanti/</link>
		<comments>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-non-omogenee-tramite-il-metodo-di-variazione-delle-costanti/#comments</comments>
		<pubDate>Tue, 19 Jan 2010 11:35:53 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Articoli didattici.. o quasi!]]></category>
		<category><![CDATA[Analisi matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Equazioni differenziali]]></category>
		<category><![CDATA[Matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Università]]></category>

		<guid isPermaLink="false">http://www.fabriziomondo.com/blog/?p=703</guid>
		<description><![CDATA[Ci eravamo lasciati con un metodo risolutivo delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee valido in alcuni casi, ovvero quando il polinomio f(x) rispondeva ad una determinata &#8220;forma&#8221;. Vedremo adesso come risolvere un&#8217;equazione di questo tipo nel caso generico, tramite il metodo di variazione delle costanti altrimenti detto di Lagrange [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://fds.mate.polimi.it/file/4/Image/integrale3.jpg" alt="" width="202" height="176" />Ci eravamo lasciati con un <a href="http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-non-omogenee/">metodo risolutivo delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee</a> valido in alcuni casi, ovvero quando il polinomio f(x) rispondeva ad una determinata &#8220;forma&#8221;.</p>
<p>Vedremo adesso come risolvere un&#8217;equazione di questo tipo nel caso generico, tramite il metodo di variazione delle costanti altrimenti detto di Lagrange (sempre sia lodato).</p>
<p>Partiamo da:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=ay%27%27%20%2B%20by%27%20%2B%20cy%20%3D%20f%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = f(x)' title='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = f(x)' class='latex' /> <strong>(1)</strong><br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=ay%27%27%20%2B%20by%27%20%2B%20cy%20%3D%200&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = 0' title='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = 0' class='latex' /> <strong>(2)</strong></p>
<p>che sono l&#8217;equazione differenziale in forma normale di partenza e la sua omogenea associata.</p>
<p>Definiamo <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y_%7B1%2C2%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='y_{1,2}' title='y_{1,2}' class='latex' /> due soluzioni della <strong>(2)</strong>.</p>
<p>Tali soluzioni supponiamo abbiano il determinante wronskiano pari a 0.</p>
<p>Il determinante Wronskiano è dato dal determinante della matrice:<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20y_1%20%26%20y_2%20%5C%5C%20y%27_1%20%26%20y%27_2%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='\begin{vmatrix} y_1 &amp; y_2 \\ y&#039;_1 &amp; y&#039;_2 \end{vmatrix}  ' title='\begin{vmatrix} y_1 &amp; y_2 \\ y&#039;_1 &amp; y&#039;_2 \end{vmatrix}  ' class='latex' /><br />
Cerchiamo una soluzione della <strong>(1)</strong> del tipo: <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%20%3D%20c_1%28x%29y_1%20%2B%20c_2%28x%29y_2%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='y = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2 ' title='y = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2 ' class='latex' />
<p>A questo punto esprimiamo <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c_1%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c_1 ' title='c_1 ' class='latex' /> e <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c_2%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c_2 ' title='c_2 ' class='latex' /> tramite il seguente sistema:<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%20c_1%20y_1%20%2B%20c_2%20y_2%20%3D%200%20%20%5C%5C%20c%27_1%20y%27_1%20%2B%20c%27_2%20y%27_2%20%3D%20f%20%5Cend%7Bcases%7D%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='\begin{cases} c_1 y_1 + c_2 y_2 = 0  \\ c&#039;_1 y&#039;_1 + c&#039;_2 y&#039;_2 = f \end{cases} ' title='\begin{cases} c_1 y_1 + c_2 y_2 = 0  \\ c&#039;_1 y&#039;_1 + c&#039;_2 y&#039;_2 = f \end{cases} ' class='latex' /><br />
Risolviamo il sistema in <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%27_1%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c&#039;_1 ' title='c&#039;_1 ' class='latex' /> e <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%27_2%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c&#039;_2 ' title='c&#039;_2 ' class='latex' />.</p>
<p>Otteniamo:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%27_1%20%3D%20%5Cfrac%7B-y_2%20f%7D%7By%27_2%20y_1%20-%20y%27_1%20y_2%7D%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20c%27_2%20%3D%20%5Cfrac%7By_1%20f%7D%7By%27_2%20y_1%20-%20y%27_1%20y_2%7D%20%5C%2C%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=0000FF&#038;s=3' alt='c&#039;_1 = \frac{-y_2 f}{y&#039;_2 y_1 - y&#039;_1 y_2} \qquad \qquad c&#039;_2 = \frac{y_1 f}{y&#039;_2 y_1 - y&#039;_1 y_2} \, ' title='c&#039;_1 = \frac{-y_2 f}{y&#039;_2 y_1 - y&#039;_1 y_2} \qquad \qquad c&#039;_2 = \frac{y_1 f}{y&#039;_2 y_1 - y&#039;_1 y_2} \, ' class='latex' />
<p>Integriamo le costanti, ottenendo i valori finali.</p>
<p>P.S Questo articolo è abbastanza complesso e incomprensibile per forti neofiti, si chiarirà tutto meglio grazie ad un esempio.</p><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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		<title>Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-non-omogenee/</link>
		<comments>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-non-omogenee/#comments</comments>
		<pubDate>Tue, 19 Jan 2010 09:53:25 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Articoli didattici.. o quasi!]]></category>
		<category><![CDATA[About me]]></category>
		<category><![CDATA[Analisi matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Equazione Differenziale]]></category>
		<category><![CDATA[Matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Università]]></category>

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		<description><![CDATA[Passiamo adesso alle equazioni non omogenee. Partiamo dall&#8217;equazione differenziale del tipo: (1) con . La soluzione generale dell’equazione non omogenea (1) si ottiene sommando la soluzione generale dell’omogenea associata, trovata ad esempio seguendo questo articolo, e una soluzione particolare della non omogenea. Per trovare una soluzione particolare si procede secondo uno schema, detto della somiglianza [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://www.casaresart.tv/wp-content/uploads/2007/11/libreria-equazione1.gif" alt="" width="155" height="111" />Passiamo adesso alle equazioni non omogenee.<br />
Partiamo dall&#8217;equazione differenziale del tipo:</p>
<p><img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=ay%27%27%20%2B%20by%27%20%2B%20cy%20%3D%20f%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = f(x)' title='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = f(x)' class='latex' /> <strong>(1)</strong></p>
<p>con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=a%2Cb%2Cc%20%5Cin%20%5CRe%20%5Cquad%20a%20%5Cne%20%5C%3B%200%20%5Cquad%20f%20%5Cin%20C%28%5CRe%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad f \in C(\Re)' title='a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad f \in C(\Re)' class='latex' />.</p>
<p>La soluzione generale dell’equazione non omogenea <strong>(1)</strong> si ottiene sommando la soluzione generale dell’omogenea associata, trovata ad esempio seguendo <a href="http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-omogenee/">questo articolo</a>, e una soluzione particolare della non omogenea.</p>
<p>Per trovare una soluzione particolare si procede secondo uno schema, detto della somiglianza in quanto la soluzione particolare è simile, nel senso precisato dalla regola scritta, al termine di non omogeneità f(x).</p>
<p>Definiamo <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%20%28x%29%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\psi (x) ' title='\psi (x) ' class='latex' /> la soluzione particolare.</p>
<ul>
<li><strong>CASO 1</strong>
<p>Sia <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29%20%3D%20P_n%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='f(x) = P_n(x)' title='f(x) = P_n(x)' class='latex' /> con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=P_n%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='P_n(x)' title='P_n(x)' class='latex' /> un polinomio di grado n.</p>
<p>Allora:</p>
<ul>
<li> se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%20%5Cne%200&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c \ne 0' title='c \ne 0' class='latex' /> si pone <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%20%28x%29%20%3D%20Q_n%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\psi (x) = Q_n(x)' title='\psi (x) = Q_n(x)' class='latex' /> polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.</li>
<li> se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%20%3D%200%20%5Cquad%20b%20%5Cne%200&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c = 0 \quad b \ne 0' title='c = 0 \quad b \ne 0' class='latex' /> si pone <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%20%28x%29%20%3D%20xQ_n%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\psi (x) = xQ_n(x)' title='\psi (x) = xQ_n(x)' class='latex' /> con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=Q_n%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='Q_n(x)' title='Q_n(x)' class='latex' /> polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.</li>
<li> se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c%20%3D%200%20%5Cquad%20b%20%3D%200&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='c = 0 \quad b = 0' title='c = 0 \quad b = 0' class='latex' /> allora abbiamo <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%20ay%27%27%20%3D%20f%28x%29%20%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt=' ay&#039;&#039; = f(x)  ' title=' ay&#039;&#039; = f(x)  ' class='latex' /> che si risolve con due integrazioni successive.</li>
</ul>
</li>
<li><strong>CASO 2</strong><br />
Sia <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29%20%3D%20P%28x%29e%5E%7Bkx%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='f(x) = P(x)e^{kx}' title='f(x) = P(x)e^{kx}' class='latex' /> con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=P%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='P(x)' title='P(x)' class='latex' /> un polinomio.</p>
<p>Allora:</p>
<ul>
<li> se k <strong>non</strong> è radice dell&#8217;equazione caratteristica dell&#8217;equazione differenziale omogenea associata, allora si pone <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%20%28x%29%20%3D%20Q%28x%29e%5E%7Bkx%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\psi (x) = Q(x)e^{kx}' title='\psi (x) = Q(x)e^{kx}' class='latex' /> con Q(x) dello stesso grado di P(x).</li>
<li> se k è radice dell&#8217;equazione caratteristica dell&#8217;equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone   <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%20%28x%29%20%3D%20x%5ErQ%28x%29e%5E%7Bkx%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\psi (x) = x^rQ(x)e^{kx}' title='\psi (x) = x^rQ(x)e^{kx}' class='latex' /></li>
</ul>
</li>
<li><strong>CASO 3</strong><br />
Sia <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28x%29%20%3D%20e%5E%7Bkx%7D%28P_1%28x%29%5Ccos%28ux%29%20%2B%20P_2%28x%29%5Csin%28ux%29%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='f(x) = e^{kx}(P_1(x)\cos(ux) + P_2(x)\sin(ux))' title='f(x) = e^{kx}(P_1(x)\cos(ux) + P_2(x)\sin(ux))' class='latex' /> con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=P_%7B1%2C2%7D%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='P_{1,2}(x)' title='P_{1,2}(x)' class='latex' /> polinomi (di cui anche uno nullo).</p>
<p>Allora:</p>
<ul>
<li> se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=k%20%5Cpm%20iu%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='k \pm iu ' title='k \pm iu ' class='latex' /> <strong>non</strong> è radice dell&#8217;equazione caratteristica dell&#8217;equazione differenziale omogenea associata, allora si pone <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%20%28x%29%20%3D%20e%5E%7Bkx%7D%5BQ_1%28x%29%5Ccos%28ux%29%20%2B%20Q_2%28x%29%5Csin%28ux%29%5D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\psi (x) = e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]' title='\psi (x) = e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]' class='latex' /> con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=Q_%7B1%2C2%7D%28x%29%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='Q_{1,2}(x) ' title='Q_{1,2}(x) ' class='latex' /> di grado pari al massimo grado tra <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=P_%7B1%2C2%7D%28x%29%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='P_{1,2}(x) ' title='P_{1,2}(x) ' class='latex' />.</li>
<li> se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=k%20%5Cpm%20iu%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='k \pm iu ' title='k \pm iu ' class='latex' /> è radice dell&#8217;equazione caratteristica dell&#8217;equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cpsi%20%28x%29%20%3D%20x%5Er%20e%5E%7Bkx%7D%5BQ_1%28x%29%5Ccos%28ux%29%20%2B%20Q_2%28x%29%5Csin%28ux%29%5D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='\psi (x) = x^r e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]' title='\psi (x) = x^r e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]' class='latex' /> con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=Q_%7B1%2C2%7D%28x%29%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='Q_{1,2}(x) ' title='Q_{1,2}(x) ' class='latex' /> di grado pari al massimo grado tra <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=P_%7B1%2C2%7D%28x%29%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='P_{1,2}(x) ' title='P_{1,2}(x) ' class='latex' />.</li>
</ul>
</li>
</ul><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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		<title>Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee</title>
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		<pubDate>Tue, 19 Jan 2010 09:47:48 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Articoli didattici.. o quasi!]]></category>
		<category><![CDATA[Analisi matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Cauchy]]></category>
		<category><![CDATA[Equazione Differenziale]]></category>
		<category><![CDATA[Matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Università]]></category>

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		<description><![CDATA[Partiamo dall&#8217;equazione differenziale del tipo: (1) con nell&#8217;incognita . Definiamo equazione caratteristica della (1) l&#8217;equazione (2) che otteniamo cercando soluzioni della (1) della tipologia con . Sostituendo nella (1) otteniamo . L&#8217;esponenziale non si annulla mai, per cui dobbiamo trovare soltanto le radici del polinomio in lambda. In base alla tipologia delle radici di tale [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://www.giovannigiunto.it/wordpress08/wp-content/uploads/2008/05/matematica.jpg" alt="" width="105" height="74" /><br />
Partiamo dall&#8217;equazione differenziale del tipo:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=ay%27%27%20%2B%20by%27%20%2B%20cy%20%3D%200&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = 0' title='ay&#039;&#039; + by&#039; + cy = 0' class='latex' /> <strong>(1)</strong></p>
<p>con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=a%2Cb%2Cc%20%5Cin%20%5CRe%2C%20a%20%5Cne%20%5C%3B%200&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='a,b,c \in \Re, a \ne \; 0' title='a,b,c \in \Re, a \ne \; 0' class='latex' /> nell&#8217;incognita <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%20%3D%20y%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y = y(x)' title='y = y(x)' class='latex' />.</p>
<p>Definiamo <em>equazione caratteristica</em> della <strong>(1)</strong> l&#8217;equazione <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=a%5Clambda%5E2%20%2B%20b%5Clambda%20%2B%20c%20%3D%200&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='a\lambda^2 + b\lambda + c = 0' title='a\lambda^2 + b\lambda + c = 0' class='latex' /> <strong>(2)</strong> che otteniamo cercando soluzioni della <strong>(1)</strong> della tipologia <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=e%5E%7B%5Clambda%20x%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{\lambda x}' title='e^{\lambda x}' class='latex' /> con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda%20%5Cin%20%5CR&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\lambda \in \R' title='\lambda \in \R' class='latex' />.</p>
<p>Sostituendo <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%20%3D%20e%5E%7B%5Clambda%20x%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y = e^{\lambda x}' title='y = e^{\lambda x}' class='latex' /> nella <strong>(1)</strong> otteniamo</p>
<p><img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=e%5E%7B%5Clambda%20x%7D%28a%5Clambda%5E2%20%2B%20b%5Clambda%20%2B%20c%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c)' title='e^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c)' class='latex' />.</p>
<p>L&#8217;esponenziale non si annulla mai, per cui dobbiamo trovare soltanto le radici del polinomio in lambda.</p>
<p>In base alla tipologia delle radici di tale polinomio, osserviamo vari casi di soluzione generale dell&#8217;equazione omogenea.</p>
<p>Siano:<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=a%2Cb%2Cc%20%5Cin%20%5CRe%20%5Cquad%20a%20%5Cne%20%5C%3B%200%20%5Cquad%20%5CDelta%20%3A%3D%20b%5E2%20-4ac%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad \Delta := b^2 -4ac ' title='a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad \Delta := b^2 -4ac ' class='latex' />
<ul>
<li><strong>CASO 1</strong><br />Se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5CDelta%20%3E%200%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\Delta &gt; 0 ' title='\Delta &gt; 0 ' class='latex' /> dette <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda_1%20s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\lambda_1 s=1' title='\lambda_1 s=1' class='latex' /> e  <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda_2&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\lambda_2' title='\lambda_2' class='latex' /> le due soluzioni reali e distinte dell&#8217;equazione caratteristica <strong>(2)</strong> otteniamo:
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%28x%29%20%3D%20%5Calpha%20e%5E%7B%5Clambda_1%20x%7D%20%2B%20%5Cbeta%20e%5E%7B%5Clambda_2%20x%7D%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y(x) = \alpha e^{\lambda_1 x} + \beta e^{\lambda_2 x} ' title='y(x) = \alpha e^{\lambda_1 x} + \beta e^{\lambda_2 x} ' class='latex' />
<p><img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cforall%20%5Calpha%20%2C%20%5Cbeta%20%5Cin%20%5CRe%20s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\forall \alpha , \beta \in \Re s=1' title='\forall \alpha , \beta \in \Re s=1' class='latex' /></li>
<li><strong>CASO 2</strong><br />Se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5CDelta%20%3D%200%20%20s%3D2&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\Delta = 0  s=2' title='\Delta = 0  s=2' class='latex' /> detta <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda%20s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\lambda s=1' title='\lambda s=1' class='latex' /> le due soluzioni reali e coincidenti dell&#8217;equazione caratteristica <strong>(2)</strong> otteniamo:
<p><img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%28x%29%20%3D%20%28%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta%20x%29e%5E%7B%5Clambda%20x%7D%20s%3D3%26fg%3D0000FF&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y(x) = (\alpha + \beta x)e^{\lambda x} s=3&amp;fg=0000FF' title='y(x) = (\alpha + \beta x)e^{\lambda x} s=3&amp;fg=0000FF' class='latex' /><br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cforall%20%5Calpha%20%2C%20%5Cbeta%20%5Cin%20%5CRe%20s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\forall \alpha , \beta \in \Re s=1' title='\forall \alpha , \beta \in \Re s=1' class='latex' /></li>
<li><strong>CASO 3</strong><br />Se <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5CDelta%20%3C%200%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=2' alt='\Delta &lt; 0 ' title='\Delta &lt; 0 ' class='latex' /> dette <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda%20%3D%20%5Cmu%20%5Cpm%20j%5Comega%20s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\lambda = \mu \pm j\omega s=1' title='\lambda = \mu \pm j\omega s=1' class='latex' /> le due soluzioni complesse e coniugate dell'equazione caratteristica <strong>(2)</strong> otteniamo:
<p><img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%28x%29%20%3D%20e%5E%7B%5Cmu%20x%7D%28%5Calpha%20%5Ccos%28%5Comega%20x%29%20%2B%20%5Cbeta%20%5Csin%28%5Comega%20x%29%29%20s%3D3fg%3D0000FF&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y(x) = e^{\mu x}(\alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)) s=3fg=0000FF' title='y(x) = e^{\mu x}(\alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)) s=3fg=0000FF' class='latex' /><br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cforall%20%5Calpha%20%2C%20%5Cbeta%20%5Cin%20%5CRe%20s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\forall \alpha , \beta \in \Re s=1' title='\forall \alpha , \beta \in \Re s=1' class='latex' /></li>
</ul><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
			<wfw:commentRss>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/19/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-secondo-ordine-a-coefficienti-costanti-omogenee/feed/</wfw:commentRss>
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		<title>Come risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/18/come-risolvere-equazioni-differenziali-lineari-del-primo-ordine/</link>
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		<pubDate>Mon, 18 Jan 2010 09:29:14 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Uncategorized]]></category>
		<category><![CDATA[About me]]></category>
		<category><![CDATA[Analisi matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Equazione Differenziale]]></category>
		<category><![CDATA[Università]]></category>

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		<description><![CDATA[Rieccomi a parlare di analisi matematica. Come precedentemente discusso nel post inerente il problema di cauchy si tratta di equazioni differenziali. Studiamo in questo post, prendendo spunto da Wikiversity come risolvere una generica equazione differenziale lineare del primo ordine. Data la seguente equazione: con funzioni continue in I La famiglia delle primitive soddisfacenti l&#8217;equazione è: [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://www.telodiceunfesso.it/home/files/fckeditor_files/image/scienza/matematica/analisi%201/integrali/definizione%20come%20spazio%20percorso/calcolo%20integrale%20velocita%20con%20aree.png" alt="Integrale" width="227" height="196" />Rieccomi a parlare di analisi matematica. Come <a href="http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/17/come-risolvere-il-problema-di-cauchy-del-primo-ordine/">precedentemente discusso</a> nel post inerente il <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Cauchy">problema di cauchy</a> si tratta di equazioni differenziali.</p>
<p>Studiamo in questo post, prendendo spunto da <a href="http://it.wikiversity.org">Wikiversity</a> come risolvere una generica equazione differenziale lineare del primo ordine.</p>
<p>Data la seguente equazione:<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%27%28x%29%2Ba%28x%29y%28x%29%3Df%28x%29%5C%21&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=3' alt='y&#039;(x)+a(x)y(x)=f(x)\!' title='y&#039;(x)+a(x)y(x)=f(x)\!' class='latex' /><br />
con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=a%2C%20f%20%3A%20I%20%5Crightarrow%20%5CRe%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=1' alt='a, f : I \rightarrow \Re ' title='a, f : I \rightarrow \Re ' class='latex' /> funzioni continue in I</p>
<p>La famiglia delle primitive soddisfacenti l&#8217;equazione è:<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%28x%29%3De%5E%7B-A%28x%29%7D%5Cleft%28%5Cint%7Bf%28x%29e%5E%7BA%28x%29%7D%7Ddx%2BC%5Cright%29%26s%3D3%26fg%3D0000FF&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y(x)=e^{-A(x)}\left(\int{f(x)e^{A(x)}}dx+C\right)&amp;s=3&amp;fg=0000FF' title='y(x)=e^{-A(x)}\left(\int{f(x)e^{A(x)}}dx+C\right)&amp;s=3&amp;fg=0000FF' class='latex' /><br />
In cui</p>
<ol>
<li><img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=A%28x%29%3A%3D%5Cint%7Ba%28x%29%7Ddx%26s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='A(x):=\int{a(x)}dx&amp;s=1' title='A(x):=\int{a(x)}dx&amp;s=1' class='latex' />
<li><img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C%20%26s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='C &amp;s=1' title='C &amp;s=1' class='latex' /> è una costante reale.
</ol>
<p>Per la dimostrazione e gli esempi rimando a <a href="http://it.wikiversity.org/wiki/Equazioni_differenziali_lineari_del_primo_ordine">Wikiversity</a>.</p><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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		<title>Come risolvere il problema di cauchy del primo ordine</title>
		<link>http://www.fabriziomondo.com/blog/2010/01/17/come-risolvere-il-problema-di-cauchy-del-primo-ordine/</link>
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		<pubDate>Sun, 17 Jan 2010 21:33:22 +0000</pubDate>
		<dc:creator>Fabrizio Mondo</dc:creator>
				<category><![CDATA[Articoli didattici.. o quasi!]]></category>
		<category><![CDATA[About me]]></category>
		<category><![CDATA[Analisi matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Cauchy]]></category>
		<category><![CDATA[Matematica]]></category>
		<category><![CDATA[Università]]></category>

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		<description><![CDATA[Sto studiando analisi matematica 2. E&#8217; una materia complessa, che a tratti non capisco e che sto cercando di studiare pur avendo pochissimo tempo a disposizione. Uno degli argomenti principi è lo studio delle equazioni differenziali, in particolare i problemi di Cauchy. Un problema di Cauchy consiste sostanzialmente nel trovare l&#8217;unica soluzione di un problema [...]]]></description>
			<content:encoded><![CDATA[<!-- google_ad_section_start --><p><img class="alignleft" src="http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat2/cauchy.jpg" alt="Cauchy" width="168" height="204" />Sto studiando <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_matematica">analisi matematica 2</a>.</p>
<p>E&#8217; una materia complessa, che a tratti non capisco e che sto cercando di studiare pur avendo pochissimo tempo a disposizione.</p>
<p>Uno degli argomenti principi è lo studio delle <a href="http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale">equazioni differenziali</a>, in particolare i problemi di Cauchy.</p>
<p>Un <strong>problema di Cauchy </strong> consiste sostanzialmente nel trovare l&#8217;unica soluzione di un problema genericamente di questo tipo:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bcases%7Df%28x%2Cy%2Cy%27%2Cy%27%27%2C%20%5Cdots%20%2C%20y%5En%29%3D0%20%5Cquad%20%5Ctextrm%7Bin%7D%20%5Cquad%20%28a%2Cb%29%5C%5Cy%28a%29%3Dy_0%20%5C%5Cy%27%28a%29%3Dy_1%20%5C%5C%5Cdots%20%5C%5Cy%5E%7Bn-1%7D%28a%29%3Dy_%7Bn-1%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%26s%3D2&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\begin{cases}f(x,y,y&#039;,y&#039;&#039;, \dots , y^n)=0 \quad \textrm{in} \quad (a,b)\\y(a)=y_0 \\y&#039;(a)=y_1 \\\dots \\y^{n-1}(a)=y_{n-1} \end{cases}&amp;s=2' title='\begin{cases}f(x,y,y&#039;,y&#039;&#039;, \dots , y^n)=0 \quad \textrm{in} \quad (a,b)\\y(a)=y_0 \\y&#039;(a)=y_1 \\\dots \\y^{n-1}(a)=y_{n-1} \end{cases}&amp;s=2' class='latex' />
<p>Nel caso del primo ordine, l&#8217;equazione è di questo tipo:</p>
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%27%3Day%20%2B%20b%28x%29%5C%3B%26s%3D3&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y&#039;=ay + b(x)\;&amp;s=3' title='y&#039;=ay + b(x)\;&amp;s=3' class='latex' /><br />
con una condizione iniziale<br />
<img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%28x_0%29%20%3D%20y_0%5C%3B%26s%3D3&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y(x_0) = y_0\;&amp;s=3' title='y(x_0) = y_0\;&amp;s=3' class='latex' />
<p>Effettuiamo i seguenti passaggi:</p>
<ol>
<li>Risolviamo l&#8217;equazione omogenea <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%27%3Day%5C%3B%26s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y&#039;=ay\;&amp;s=1' title='y&#039;=ay\;&amp;s=1' class='latex' />  che ha come soluzione <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%3Dc_1e%5E%7Bax%7D%5C%3B%26s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y=c_1e^{ax}\;&amp;s=1' title='y=c_1e^{ax}\;&amp;s=1' class='latex' />
</li>
<li>Dobbiamo adesso trovare la <strong>soluzione particolare</strong>. Per farlo ad esempio imponiamo che la soluzione sia del tipo <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Calpha%20x%20%2B%20%5Cbeta%3B%26s%3D1%26fg%3D0000ff&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\alpha x + \beta;&amp;s=1&amp;fg=0000ff' title='\alpha x + \beta;&amp;s=1&amp;fg=0000ff' class='latex' />
<li>Abbiamo supposto che la soluzione particolare <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=g%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='g(x)' title='g(x)' class='latex' /> sia del tipo <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Calpha%20x%20%2B%20%5Cbeta%3B%26s%3D0%26fg%3D0000ff&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\alpha x + \beta;&amp;s=0&amp;fg=0000ff' title='\alpha x + \beta;&amp;s=0&amp;fg=0000ff' class='latex' />, alchè scriviamo anche <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=g%27%28x%29%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='g&#039;(x) ' title='g&#039;(x) ' class='latex' /> che in questo caso sarà pari ad <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=a&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='a' title='a' class='latex' />.
<li>Sostituite le occorrenze di y e della sua derivata con <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=g%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='g(x)' title='g(x)' class='latex' /> e <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=g%27%28x%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='g&#039;(x)' title='g&#039;(x)' class='latex' /> all&#8217;interno dell&#8217;equazione differenziale, isolando i termini in y dai termini in x. Si otterrà un equazione in x. Per il <em>principio di equivalenza dei polinomi</em>, dobbiamo confrontare i termini di pari grado di entrambi i membri ricavando così un sistema (che tralascio) che consente di ricavare <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Calpha%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\alpha ' title='\alpha ' class='latex' /> e <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\beta' title='\beta' class='latex' />
<li>Una volta ricavati i valori numerici di <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Calpha%20&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\alpha ' title='\alpha ' class='latex' /> e <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\beta' title='\beta' class='latex' />, possiamo scrivere la soluzione finale in questo modo: <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=y%3Dc_1e%5Eax%5C%20%2B%20%5Calpha%20x%20%2B%20%5Cbeta%20%3B%26s%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='y=c_1e^ax\ + \alpha x + \beta ;&amp;s=1' title='y=c_1e^ax\ + \alpha x + \beta ;&amp;s=1' class='latex' />.
<li>Utilizzando la <strong>condizione iniziale</strong>, e sostituendola nell&#8217;equazione appena scritta, otterremo come unica incognita <img src='http://s.wordpress.com/latex.php?latex=c_1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='c_1' title='c_1' class='latex' />, che ci permette di scrivere la soluzione del problema.
</ol><!-- google_ad_section_end -->]]></content:encoded>
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