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Come convolvere una funzione qualsiasi con una funzione rect

luglio 25, 2010 3:30 pm

Questo articolo riguarda la teoria dei segnali, un campo dello scibile ovviamente fondamentale per chi (come me!) vuole diventare un professionista nel campo delle telecomunicazioni.

Questo articolo parla di convoluzione, un operazione che per chi è nel campo dell’ingegneria dell’informazione, deve essere automatica come il fare le addizioni.

Supponiamo di dovere convolvere questi due segnali:
Primo segnale

analiticamente descritto da:

Analitico

E una semplice funzione rettangolo:

Primo segnale

definita da questa casistica:

Analitico

Per effettuare la convoluzione tra i due segnali possiamo agire in più modi.

Il primo modo è utilizzare la definizione, scopriremo che in questo caso, è il modo più complicato.La definizione di convoluzione tra due segnali è la seguente:

Analitico

In questo caso, tutto si riduce a muovere una rect da meno infinito a più infinito e effettuare, istante per istante con continuità, il prodotto tra i due segnali, e quindi integrare.

Il grafico dell’integrale del prodotto, istante per istante, darà la funzione di convoluzione tra i due segnali.

Possiamo notare che sicuramente, se i due supporti non si intersecano, il loro prodotto è nullo, per cui si avrà convoluzione da quando la finestra rect tocca l’altro segnale, a quando si stacca, dopo averlo attraversato. Ciò giustifica visivamente il perchè la convoluzione abbia supporto pari alla somma dei supporti dei segnali di partenza.

Convolvere questi due segnali tramite la definizione è abbastanza semplice, data la natura della rect, ma è possibile operare in modo molto più semplice, vediamo come.

Il secondo modo è utilizzare la proprietà di derivazione e di elemento neutro della delta di dirac.

La regola di derivazione ci dice che la derivata della convoluzione si ottiene convolvendo uno dei due segnali con l’altro derivato.

Deriviamo allora la rect:

Derivata della rect

Otteniamo due delta di dirac (rappresentate dalle frecce) che, da letteratura, sappiamo che sono elementi neutri della convoluzione.

Tutto adesso si riduce a dovere banalmente SOMMARE il segnale di partenza, traslato di -2, e lo stesso segnale di partenza, traslato di più due e ribaltato.

Segnali sovrapposti

Adesso sommiamo i due segnali…

Segnali sommati

Adesso occorre soltanto integrare!

Convoluzione finale

P.S le immagini hanno degli errori e la convoluzione potrebbe non essere numericamente esatta. Il procedimento è perfettamente coerente, provvederò a sistemare al più presto le cifre.

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Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti

gennaio 19, 2010 3:50 pm

Ecco l’esempio di cui parlavo

Supponiamo di avere:
$y'' + y' = \frac{1}{\sin(x)}$
L’equazione omogenea associata è $y'' + y' = 0$ . L’equazione caratteristica è $\lambda^2 + 1 = 0$ che ha $\Delta < 0 = \sqrt{-4}$

Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo.

Quindi occorre trovare i numeri $\alpha = 0 \quad \beta = 1$ in modo da avere:

$c_1\cos(x) + c_2\sin(x)$

Le costanti c devono verificare il sistema:

$\begin{cases} c'_1(x)\cos(x) + c'_2(x)sin(x) = 0 \\ -c'_1(x)\sin(x) + c'_2(x)cos(x) = \frac{1}{\sin(x)} \end{cases}$

Abbiamo che:
$W(x) = \begin{bmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & cos(x) \end{bmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

utilizzando la regola di Cramer, possiamo ricavare $c'_{1,2}$

$c'_1 = 1 \quad c'_2 = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Integriamo entrambi i coefficienti:

$\begin{cases} c_1 = \int c'_1(x)\, dx = -x \\ c_2 = \int c'_2(x)\, dx = \log \lvert\sin(x)\rvert \end{cases}$

Sostituiamo i coefficienti nell’equazione di partenza e otterremo la soluzione particolare dell’equazione non omogenea di partenza, ovvero:

$y(x) = x\cos(x) + \sin(x)\log \lvert\sin(x)\rvert$

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Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee tramite il metodo di variazione delle costanti

1:35 pm

Ci eravamo lasciati con un metodo risolutivo delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee valido in alcuni casi, ovvero quando il polinomio f(x) rispondeva ad una determinata “forma”.

Vedremo adesso come risolvere un’equazione di questo tipo nel caso generico, tramite il metodo di variazione delle costanti altrimenti detto di Lagrange (sempre sia lodato).

Partiamo da:

$ay'' + by' + cy = f(x)$ (1)
$ay'' + by' + cy = 0$ (2)

che sono l’equazione differenziale in forma normale di partenza e la sua omogenea associata.

Definiamo $y_{1,2}$ due soluzioni della (2).

Tali soluzioni supponiamo abbiano il determinante wronskiano pari a 0.

Il determinante Wronskiano è dato dal determinante della matrice:
$\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}$
Cerchiamo una soluzione della (1) del tipo: $y = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2$

A questo punto esprimiamo $c_1$ e $c_2$ tramite il seguente sistema:
$\begin{cases} c_1 y_1 + c_2 y_2 = 0 \\ c'_1 y'_1 + c'_2 y'_2 = f \end{cases}$
Risolviamo il sistema in $c'_1$ e $c'_2$ .