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Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti

gennaio 19, 2010 3:50 pm

Ecco l’esempio di cui parlavo

Supponiamo di avere:
$y'' + y' = \frac{1}{\sin(x)}$
L’equazione omogenea associata è $y'' + y' = 0$ . L’equazione caratteristica è $\lambda^2 + 1 = 0$ che ha $\Delta < 0 = \sqrt{-4}$

Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo.

Quindi occorre trovare i numeri $\alpha = 0 \quad \beta = 1$ in modo da avere:

$c_1\cos(x) + c_2\sin(x)$

Le costanti c devono verificare il sistema:

$\begin{cases} c'_1(x)\cos(x) + c'_2(x)sin(x) = 0 \\ -c'_1(x)\sin(x) + c'_2(x)cos(x) = \frac{1}{\sin(x)} \end{cases}$

Abbiamo che:
$W(x) = \begin{bmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & cos(x) \end{bmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

utilizzando la regola di Cramer, possiamo ricavare $c'_{1,2}$

$c'_1 = 1 \quad c'_2 = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Integriamo entrambi i coefficienti:

$\begin{cases} c_1 = \int c'_1(x)\, dx = -x \\ c_2 = \int c'_2(x)\, dx = \log \lvert\sin(x)\rvert \end{cases}$

Sostituiamo i coefficienti nell’equazione di partenza e otterremo la soluzione particolare dell’equazione non omogenea di partenza, ovvero:

$y(x) = x\cos(x) + \sin(x)\log \lvert\sin(x)\rvert$

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Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee tramite il metodo di variazione delle costanti

1:35 pm

Ci eravamo lasciati con un metodo risolutivo delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee valido in alcuni casi, ovvero quando il polinomio f(x) rispondeva ad una determinata “forma”.

Vedremo adesso come risolvere un’equazione di questo tipo nel caso generico, tramite il metodo di variazione delle costanti altrimenti detto di Lagrange (sempre sia lodato).

Partiamo da:

$ay'' + by' + cy = f(x)$ (1)
$ay'' + by' + cy = 0$ (2)

che sono l’equazione differenziale in forma normale di partenza e la sua omogenea associata.

Definiamo $y_{1,2}$ due soluzioni della (2).

Tali soluzioni supponiamo abbiano il determinante wronskiano pari a 0.

Il determinante Wronskiano è dato dal determinante della matrice:
$\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}$
Cerchiamo una soluzione della (1) del tipo: $y = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2$

A questo punto esprimiamo $c_1$ e $c_2$ tramite il seguente sistema:
$\begin{cases} c_1 y_1 + c_2 y_2 = 0 \\ c'_1 y'_1 + c'_2 y'_2 = f \end{cases}$
Risolviamo il sistema in $c'_1$ e $c'_2$ .

Otteniamo:

$c'_1 = \frac{-y_2 f}{y'_2 y_1 - y'_1 y_2} \qquad \qquad c'_2 = \frac{y_1 f}{y'_2 y_1 - y'_1 y_2} \,$

Integriamo le costanti, ottenendo i valori finali.

P.S Questo articolo è abbastanza complesso e incomprensibile per forti neofiti, si chiarirà tutto meglio grazie ad un esempio.

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Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee

11:53 am

Passiamo adesso alle equazioni non omogenee.
Partiamo dall’equazione differenziale del tipo:

$ay'' + by' + cy = f(x)$ (1)

con $a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad f \in C(\Re)$ .

La soluzione generale dell’equazione non omogenea (1) si ottiene sommando la soluzione generale dell’omogenea associata, trovata ad esempio seguendo questo articolo, e una soluzione particolare della non omogenea.

Per trovare una soluzione particolare si procede secondo uno schema, detto della somiglianza in quanto la soluzione particolare è simile, nel senso precisato dalla regola scritta, al termine di non omogeneità f(x).

Definiamo $\psi (x)$ la soluzione particolare.

CASO 1
Sia $f(x) = P_n(x)$ con $P_n(x)$ un polinomio di grado n.

Allora:
- se $c \ne 0$ si pone $\psi (x) = Q_n(x)$ polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.
- se $c = 0 \quad b \ne 0$ si pone $\psi (x) = xQ_n(x)$ con $Q_n(x)$ polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.
- se $c = 0 \quad b = 0$ allora abbiamo $ay'' = f(x)$ che si risolve con due integrazioni successive.
CASO 2
Sia con un polinomio.

Allora:
- se k non è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, allora si pone $\psi (x) = Q(x)e^{kx}$ con Q(x) dello stesso grado di P(x).
- se k è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone $\psi (x) = x^rQ(x)e^{kx}$
CASO 3
Sia con polinomi (di cui anche uno nullo).

Allora:
- se $k \pm iu$ non è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, allora si pone $\psi (x) = e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]$ con $Q_{1,2}(x)$ di grado pari al massimo grado tra $P_{1,2}(x)$ .
- se $k \pm iu$ è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone $\psi (x) = x^r e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]$ con $Q_{1,2}(x)$ di grado pari al massimo grado tra $P_{1,2}(x)$ .