Questo articolo riguarda la teoria dei segnali, un campo dello scibile ovviamente fondamentale per chi (come me!) vuole diventare un professionista nel campo delle telecomunicazioni.
Questo articolo parla di convoluzione, un operazione che per chi è nel campo dell’ingegneria dell’informazione, deve essere automatica come il fare le addizioni.
Supponiamo di dovere convolvere questi due segnali:
analiticamente descritto da:
E una semplice funzione rettangolo:
definita da questa casistica:
Per effettuare la convoluzione tra i due segnali possiamo agire in più modi.
In questo caso, tutto si riduce a muovere una rect da meno infinito a più infinito e effettuare, istante per istante con continuità, il prodotto tra i due segnali, e quindi integrare.
Il grafico dell’integrale del prodotto, istante per istante, darà la funzione di convoluzione tra i due segnali.
Possiamo notare che sicuramente, se i due supporti non si intersecano, il loro prodotto è nullo, per cui si avrà convoluzione da quando la finestra rect tocca l’altro segnale, a quando si stacca, dopo averlo attraversato.
Ciò giustifica visivamente il perchè la convoluzione abbia supporto pari alla somma dei supporti dei segnali di partenza.
Convolvere questi due segnali tramite la definizione è abbastanza semplice, data la natura della rect, ma è possibile operare in modo molto più semplice, vediamo come.
La regola di derivazione ci dice che la derivata della convoluzione si ottiene convolvendo uno dei due segnali con l’altro derivato.
Deriviamo allora la rect:
Otteniamo due delta di dirac (rappresentate dalle frecce) che, da letteratura, sappiamo che sono elementi neutri della convoluzione.
Tutto adesso si riduce a dovere banalmente SOMMARE il segnale di partenza, traslato di -2, e lo stesso segnale di partenza, traslato di più due e ribaltato.
Adesso sommiamo i due segnali…
Adesso occorre soltanto integrare!
P.S le immagini hanno degli errori e la convoluzione potrebbe non essere numericamente esatta. Il procedimento è perfettamente coerente, provvederò a sistemare al più presto le cifre.
Non sei collegato
Oltre alle incoerenze nelle immagini ti faccio notare che c’è un errore nella definizione del rect, che vale 1/2 per |x|=1 e non per |x|=1/2
Ah, e anche la f(x) vale 4 tra -2 e 3, non tra -4 e 3.
(gli amici più intimi mi chiamano “error finder” XD)
@Kar.ma:
Grazie per avermi fatto notare gli errori… vedrò di corregerli presto… considera che devo rifare un restyling delle immagini di tutti gli articoli, dedicandomi anche a questo