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Archive for gennaio, 2010

Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee

gennaio 19, 2010 11:47 am

Partiamo dall’equazione differenziale del tipo:

$ay'' + by' + cy = 0$ (1)

con $a,b,c \in \Re, a \ne \; 0$ nell’incognita $y = y(x)$ .

Definiamo equazione caratteristica della (1) l’equazione $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ (2) che otteniamo cercando soluzioni della (1) della tipologia $e^{\lambda x}$ con $\lambda \in \R$ .

Sostituendo $y = e^{\lambda x}$ nella (1) otteniamo

$e^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c)$ .

L’esponenziale non si annulla mai, per cui dobbiamo trovare soltanto le radici del polinomio in lambda.

In base alla tipologia delle radici di tale polinomio, osserviamo vari casi di soluzione generale dell’equazione omogenea.

Siano:
$a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad \Delta := b^2 -4ac$

CASO 1
Se $\Delta > 0$ dette $\lambda_1 s=1$ e $\lambda_2$ le due soluzioni reali e distinte dell’equazione caratteristica (2) otteniamo: $y(x) = \alpha e^{\lambda_1 x} + \beta e^{\lambda_2 x}$
$\forall \alpha , \beta \in \Re s=1$
CASO 2
Se $\Delta = 0 s=2$ detta $\lambda s=1$ le due soluzioni reali e coincidenti dell’equazione caratteristica (2) otteniamo:
$y(x) = (\alpha + \beta x)e^{\lambda x} s=3&fg=0000FF$
$\forall \alpha , \beta \in \Re s=1$
CASO 3
Se $\Delta < 0$ dette $\lambda = \mu \pm j\omega s=1$ le due soluzioni complesse e coniugate dell'equazione caratteristica (2) otteniamo:
$y(x) = e^{\mu x}(\alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)) s=3fg=0000FF$
$\forall \alpha , \beta \in \Re s=1$

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Come risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine

gennaio 18, 2010 11:29 am

Integrale Rieccomi a parlare di analisi matematica. Come precedentemente discusso nel post inerente il problema di cauchy si tratta di equazioni differenziali.

Studiamo in questo post, prendendo spunto da Wikiversity come risolvere una generica equazione differenziale lineare del primo ordine.

Data la seguente equazione:
$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)\!$
con $a, f : I \rightarrow \Re$ funzioni continue in I

La famiglia delle primitive soddisfacenti l’equazione è:
$y(x)=e^{-A(x)}\left(\int{f(x)e^{A(x)}}dx+C\right)&s=3&fg=0000FF$
In cui

$A(x):=\int{a(x)}dx&s=1$
$C &s=1$ è una costante reale.

Per la dimostrazione e gli esempi rimando a Wikiversity.

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Come risolvere il problema di cauchy del primo ordine

gennaio 17, 2010 11:33 pm

Cauchy Sto studiando analisi matematica 2.

E’ una materia complessa, che a tratti non capisco e che sto cercando di studiare pur avendo pochissimo tempo a disposizione.

Uno degli argomenti principi è lo studio delle equazioni differenziali, in particolare i problemi di Cauchy.

Un problema di Cauchy consiste sostanzialmente nel trovare l’unica soluzione di un problema genericamente di questo tipo:

$\begin{cases}f(x,y,y',y'', \dots , y^n)=0 \quad \textrm{in} \quad (a,b)\\y(a)=y_0 \\y'(a)=y_1 \\\dots \\y^{n-1}(a)=y_{n-1} \end{cases}&s=2$

Nel caso del primo ordine, l’equazione è di questo tipo:

$y'=ay + b(x)\;&s=3$
con una condizione iniziale
$y(x_0) = y_0\;&s=3$

Effettuiamo i seguenti passaggi:

Risolviamo l’equazione omogenea $y'=ay\;&s=1$ che ha come soluzione $y=c_1e^{ax}\;&s=1$
Dobbiamo adesso trovare la soluzione particolare. Per farlo ad esempio imponiamo che la soluzione sia del tipo $\alpha x + \beta;&s=1&fg=0000ff$
Abbiamo supposto che la soluzione particolare $g(x)$ sia del tipo $\alpha x + \beta;&s=0&fg=0000ff$ , alchè scriviamo anche $g'(x)$ che in questo caso sarà pari ad $a$ .
Sostituite le occorrenze di y e della sua derivata con $g(x)$ e $g'(x)$ all’interno dell’equazione differenziale, isolando i termini in y dai termini in x. Si otterrà un equazione in x. Per il principio di equivalenza dei polinomi, dobbiamo confrontare i termini di pari grado di entrambi i membri ricavando così un sistema (che tralascio) che consente di ricavare $\alpha$ e $\beta$
Una volta ricavati i valori numerici di $\alpha$ e $\beta$ , possiamo scrivere la soluzione finale in questo modo: $y=c_1e^ax\ + \alpha x + \beta ;&s=1$ .
Utilizzando la condizione iniziale, e sostituendola nell’equazione appena scritta, otterremo come unica incognita $c_1$ , che ci permette di scrivere la soluzione del problema.