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Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti

gennaio 19, 2010 3:50 pm

Ecco l’esempio di cui parlavo

Supponiamo di avere:
y'' + y' = \frac{1}{\sin(x)}
L’equazione omogenea associata è y'' + y' = 0 . L’equazione caratteristica è \lambda^2 + 1 = 0 che ha \Delta < 0 = \sqrt{-4}

Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo.

Quindi occorre trovare i numeri \alpha = 0 \quad \beta = 1 in modo da avere:

c_1\cos(x) + c_2\sin(x)

Le costanti c devono verificare il sistema:

\begin{cases}  c'_1(x)\cos(x) + c'_2(x)sin(x) = 0 \\  -c'_1(x)\sin(x) + c'_2(x)cos(x) = \frac{1}{\sin(x)}    \end{cases}

Abbiamo che:
W(x) =  \begin{bmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & cos(x) \end{bmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

utilizzando la regola di Cramer, possiamo ricavare c'_{1,2}

c'_1 = 1 \quad c'_2 = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

Integriamo entrambi i coefficienti:

\begin{cases} c_1 = \int c'_1(x)\, dx = -x \\  c_2 = \int c'_2(x)\, dx = \log \lvert\sin(x)\rvert    \end{cases}

Sostituiamo i coefficienti nell’equazione di partenza e otterremo la soluzione particolare dell’equazione non omogenea di partenza, ovvero:

y(x) = x\cos(x) + \sin(x)\log \lvert\sin(x)\rvert

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