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Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti

Categorie: Matematica
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Pubblicato il: 19 gennaio 2010

Ecco l’esempio di cui parlavo

Supponiamo di avere:
 y'' + y' = frac{1}{sin(x)}
L’equazione omogenea associata è y'' + y' = 0 . L’equazione caratteristica è lambda^2 + 1 = 0 che ha Delta < 0 = sqrt{-4}

Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo.

Quindi occorre trovare i numeri alpha = 0 quad beta = 1 in modo da avere:

c_1cos(x) + c_2sin(x)

Le costanti c devono verificare il sistema:

begin{cases}  c'_1(x)cos(x) + c'_2(x)sin(x) = 0 \  -c'_1(x)sin(x) + c'_2(x)cos(x) = frac{1}{sin(x)}    end{cases}

Abbiamo che:
W(x) =  begin{bmatrix} cos(x) & sin(x) \ -sin(x) & cos(x) end{bmatrix} = cos^2(x) + sin^2(x) = 1

utilizzando la regola di Cramer, possiamo ricavare c'_{1,2}

c'_1 = 1 quad c'_2 = frac{cos(x)}{sin(x)}

Integriamo entrambi i coefficienti:

begin{cases} c_1 = int c'_1(x), dx = -x \  c_2 = int c'_2(x), dx = log lvertsin(x)rvert    end{cases}

Sostituiamo i coefficienti nell’equazione di partenza e otterremo la soluzione particolare dell’equazione non omogenea di partenza, ovvero:

y(x) = xcos(x) + sin(x)log lvertsin(x)rvert

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