Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti

Ecco l’esempio di cui parlavo

Supponiamo di avere:
$y'' + y' = \frac{1}{\sin(x)}$
L’equazione omogenea associata è $y'' + y' = 0$ . L’equazione caratteristica è $\lambda^2 + 1 = 0$ che ha $\Delta < 0 = \sqrt{-4}$

Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo.

Quindi occorre trovare i numeri $\alpha = 0 \quad \beta = 1$ in modo da avere:

$c_1\cos(x) + c_2\sin(x)$

Le costanti c devono verificare il sistema:

$\begin{cases} c'_1(x)\cos(x) + c'_2(x)sin(x) = 0 \\ -c'_1(x)\sin(x) + c'_2(x)cos(x) = \frac{1}{\sin(x)} \end{cases}$

Abbiamo che:
$W(x) = \begin{bmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & cos(x) \end{bmatrix} = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

utilizzando la regola di Cramer, possiamo ricavare $c'_{1,2}$

$c'_1 = 1 \quad c'_2 = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Integriamo entrambi i coefficienti:

$\begin{cases} c_1 = \int c'_1(x)\, dx = -x \\ c_2 = \int c'_2(x)\, dx = \log \lvert\sin(x)\rvert \end{cases}$

Sostituiamo i coefficienti nell’equazione di partenza e otterremo la soluzione particolare dell’equazione non omogenea di partenza, ovvero:

$y(x) = x\cos(x) + \sin(x)\log \lvert\sin(x)\rvert$

Categories: Articoli didattici.. o quasi!
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Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti

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