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Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee

di Fabrizio Mondo
Categorie: Matematica
Tag: Nessun tag
Commenti: 2 commenti
Pubblicato il: 19 gennaio 2010


Partiamo dall’equazione differenziale del tipo:

ay'' + by' + cy = 0 (1)

con a,b,c in Re, a ne ; 0 nell’incognita y = y(x).

Definiamo equazione caratteristica della (1) l’equazione alambda^2 + blambda + c = 0 (2) che otteniamo cercando soluzioni della (1) della tipologia e^{lambda x} con lambda in R.

Sostituendo y = e^{lambda x} nella (1) otteniamo

e^{lambda x}(alambda^2 + blambda + c).

L’esponenziale non si annulla mai, per cui dobbiamo trovare soltanto le radici del polinomio in lambda.

In base alla tipologia delle radici di tale polinomio, osserviamo vari casi di soluzione generale dell’equazione omogenea.

Siano:
a,b,c in Re quad a ne ; 0 quad Delta := b^2 -4ac

  • CASO 1
    Se Delta > 0 dette lambda_1 s=1 e lambda_2 le due soluzioni reali e distinte dell’equazione caratteristica (2) otteniamo: y(x) = alpha e^{lambda_1 x} + beta e^{lambda_2 x}

    forall alpha , beta in Re s=1

  • CASO 2
    Se Delta = 0 s=2 detta lambda s=1 le due soluzioni reali e coincidenti dell’equazione caratteristica (2) otteniamo:

    y(x) = (alpha + beta x)e^{lambda x} s=3&fg=0000FF
    forall alpha , beta in Re s=1

  • CASO 3
    Se Delta < 0 dette lambda = mu pm jomega s=1 le due soluzioni complesse e coniugate dell'equazione caratteristica (2) otteniamo:

    y(x) = e^{mu x}(alpha cos(omega x) + beta sin(omega x)) s=3fg=0000FF
    forall alpha , beta in Re s=1


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2 commenti - Lascia un commento
  1. questo articolo è citato da Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee scrive:
    19 gennaio 2010 alle 12:44

    [...] « Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee [...]

    Rispondi
  2. questo articolo è citato da Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti scrive:
    19 gennaio 2010 alle 15:50

    [...] Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo. [...]

    Rispondi

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