Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee

Partiamo dall’equazione differenziale del tipo:

$ay'' + by' + cy = 0$ (1)

con $a,b,c \in \Re, a \ne \; 0$ nell’incognita $y = y(x)$ .

Definiamo equazione caratteristica della (1) l’equazione $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ (2) che otteniamo cercando soluzioni della (1) della tipologia $e^{\lambda x}$ con $\lambda \in \Re$ .

Sostituendo $y = e^{\lambda x}$ nella (1) otteniamo

$e^{\lambda x}(a\lambda^2 + b\lambda + c)$ .

L’esponenziale non si annulla mai, per cui dobbiamo trovare soltanto le radici del polinomio in lambda.

In base alla tipologia delle radici di tale polinomio, osserviamo vari casi di soluzione generale dell’equazione omogenea.

Siano:
$a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad \Delta := b^2 -4ac$

CASO 1
Se $\Delta > 0$ dette $\lambda_1$ e $\lambda_2$ le due soluzioni reali e distinte dell’equazione caratteristica (2) otteniamo:
$y(x) = \alpha e^{\lambda_1 x} + \beta e^{\lambda_2 x}$

$\forall \alpha , \beta \in \Re s=1$
CASO 2
Se $\Delta = 0$ detta $\lambda$ le due soluzioni reali e coincidenti dell’equazione caratteristica (2) otteniamo:
$y(x) = (\alpha + \beta x)e^{\lambda x}$
$\forall \alpha , \beta \in \Re$
CASO 3
Se $\Delta < 0$ dette $\lambda = \mu \pm j\omega$ le due soluzioni complesse e coniugate dell'equazione caratteristica (2) otteniamo:
$y(x) = e^{\mu x}(\alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x))$
$\forall \alpha , \beta \in \Re$

Categories: Articoli didattici.. o quasi!
2 Comments »

2 Responses to “Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee”

Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee sent a pingback on gennaio 19, 2010

[...] « Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee [...]

Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Esempio di risoluzione equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficenti costanti con il metodo di variazione delle costanti sent a pingback on gennaio 19, 2010

[...] Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo. [...]

Care to comment?