Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee

Passiamo adesso alle equazioni non omogenee.
Partiamo dall’equazione differenziale del tipo:

$ay'' + by' + cy = f(x)$ (1)

con $a,b,c \in \Re \quad a \ne \; 0 \quad f \in C(\Re)$ .

La soluzione generale dell’equazione non omogenea (1) si ottiene sommando la soluzione generale dell’omogenea associata, trovata ad esempio seguendo questo articolo, e una soluzione particolare della non omogenea.

Per trovare una soluzione particolare si procede secondo uno schema, detto della somiglianza in quanto la soluzione particolare è simile, nel senso precisato dalla regola scritta, al termine di non omogeneità f(x).

Definiamo $\psi (x)$ la soluzione particolare.

CASO 1
Sia $f(x) = P_n(x)$ con $P_n(x)$ un polinomio di grado n.

Allora:
- se $c \ne 0$ si pone $\psi (x) = Q_n(x)$ polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.
- se $c = 0 \quad b \ne 0$ si pone $\psi (x) = xQ_n(x)$ con $Q_n(x)$ polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.
- se $c = 0 \quad b = 0$ allora abbiamo $ay'' = f(x)$ che si risolve con due integrazioni successive.
CASO 2
Sia con un polinomio.

Allora:
- se k non è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, allora si pone $\psi (x) = Q(x)e^{kx}$ con Q(x) dello stesso grado di P(x).
- se k è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone $\psi (x) = x^rQ(x)e^{kx}$
CASO 3
Sia con polinomi (di cui anche uno nullo).

Allora:
- se $k \pm iu$ non è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, allora si pone $\psi (x) = e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]$ con $Q_{1,2}(x)$ di grado pari al massimo grado tra $P_{1,2}(x)$ .
- se $k \pm iu$ è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone $\psi (x) = x^r e^{kx}[Q_1(x)\cos(ux) + Q_2(x)\sin(ux)]$ con $Q_{1,2}(x)$ di grado pari al massimo grado tra $P_{1,2}(x)$ .

Categories: Articoli didattici.. o quasi!
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One Response to “Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee”

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