Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Come risolvere equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee tramite il metodo di variazione delle costanti

Ci eravamo lasciati con un metodo risolutivo delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee valido in alcuni casi, ovvero quando il polinomio f(x) rispondeva ad una determinata “forma”.

Vedremo adesso come risolvere un’equazione di questo tipo nel caso generico, tramite il metodo di variazione delle costanti altrimenti detto di Lagrange (sempre sia lodato).

Partiamo da:

$ay'' + by' + cy = f(x)$ (1)
$ay'' + by' + cy = 0$ (2)

che sono l’equazione differenziale in forma normale di partenza e la sua omogenea associata.

Definiamo $y_{1,2}$ due soluzioni della (2).

Tali soluzioni supponiamo abbiano il determinante wronskiano pari a 0.

Il determinante Wronskiano è dato dal determinante della matrice:
$\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{vmatrix}$
Cerchiamo una soluzione della (1) del tipo: $y = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2$

A questo punto esprimiamo $c_1$ e $c_2$ tramite il seguente sistema:
$\begin{cases} c_1 y_1 + c_2 y_2 = 0 \\ c'_1 y'_1 + c'_2 y'_2 = f \end{cases}$
Risolviamo il sistema in $c'_1$ e $c'_2$ .