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Ecco l’esempio di cui parlavo

Supponiamo di avere:

L’equazione omogenea associata è . L’equazione caratteristica è che ha

Rientriamo nel terzo caso descritto in questo articolo.

Quindi occorre trovare i numeri in modo da avere:

Le costanti c devono verificare il sistema:

Abbiamo che:

utilizzando la regola di Cramer, possiamo ricavare

Integriamo entrambi i coefficienti:

Sostituiamo i coefficienti nell’equazione di partenza e otterremo la soluzione particolare dell’equazione non omogenea di partenza, ovvero:

Ci eravamo lasciati con un metodo risolutivo delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee valido in alcuni casi, ovvero quando il polinomio f(x) rispondeva ad una determinata “forma”.

Vedremo adesso come risolvere un’equazione di questo tipo nel caso generico, tramite il metodo di variazione delle costanti altrimenti detto di Lagrange (sempre sia lodato).

Partiamo da:

(1)
(2)

che sono l’equazione differenziale in forma normale di partenza e la sua omogenea associata.

Definiamo due soluzioni della (2).

Tali soluzioni supponiamo abbiano il determinante wronskiano pari a 0.

Il determinante Wronskiano è dato dal determinante della matrice:

Cerchiamo una soluzione della (1) del tipo:

A questo punto esprimiamo e tramite il seguente sistema:

Risolviamo il sistema in e .

Otteniamo:

Integriamo le costanti, ottenendo i valori finali.

P.S Questo articolo è abbastanza complesso e incomprensibile per forti neofiti, si chiarirà tutto meglio grazie ad un esempio.

Passiamo adesso alle equazioni non omogenee.
Partiamo dall’equazione differenziale del tipo:

(1)

con .

La soluzione generale dell’equazione non omogenea (1) si ottiene sommando la soluzione generale dell’omogenea associata, trovata ad esempio seguendo questo articolo, e una soluzione particolare della non omogenea.

Per trovare una soluzione particolare si procede secondo uno schema, detto della somiglianza in quanto la soluzione particolare è simile, nel senso precisato dalla regola scritta, al termine di non omogeneità f(x).

Definiamo la soluzione particolare.

• CASO 1

  Sia con un polinomio di grado n.

  Allora:

  • se si pone polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.
  • se si pone con polinomio di grado n da determinare sostituendolo nella (1) ed imponendo che ne sia soluzione.
  • se allora abbiamo che si risolve con due integrazioni successive.
• CASO 2
  Sia con un polinomio.

  Allora:

  • se k non è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, allora si pone con Q(x) dello stesso grado di P(x).
  • se k è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone
• CASO 3
  Sia con polinomi (di cui anche uno nullo).

  Allora:

  • se non è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, allora si pone con di grado pari al massimo grado tra .
  • se è radice dell’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata, di molteplicità r, allora si pone con di grado pari al massimo grado tra .

Partiamo dall’equazione differenziale del tipo:

(1)

con nell’incognita .

Definiamo equazione caratteristica della (1) l’equazione (2) che otteniamo cercando soluzioni della (1) della tipologia con .

Sostituendo nella (1) otteniamo

.

L’esponenziale non si annulla mai, per cui dobbiamo trovare soltanto le radici del polinomio in lambda.

In base alla tipologia delle radici di tale polinomio, osserviamo vari casi di soluzione generale dell’equazione omogenea.

Siano:

• CASO 1
  Se dette e le due soluzioni reali e distinte dell’equazione caratteristica (2) otteniamo:

  

• CASO 2
  Se detta le due soluzioni reali e coincidenti dell’equazione caratteristica (2) otteniamo:

  
  

• CASO 3
  Se dette le due soluzioni complesse e coniugate dell'equazione caratteristica (2) otteniamo: