Il Blog di Fabrizio Mondo » Blog Archive » Elettrotecnica – Studio di un circuito del secondo ordine – Risoluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine

Avevamo concluso il nostro percorso con una bella equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti, vediamo di risolverla.

$\frac{\delta^2 i(t)}{\delta t^2} + 2\alpha \cdot \frac{\delta i(t)}{\delta t} + \omega_0^2 \cdot i(t) = 0$

Vediamo come agire.

Di questa equazione differenziale, cerchiamo una soluzione nella forma $y= e^{\lambda x}$ , possiamo quindi scrivere:

$e^{\lambda x } \left( \lambda^2 + a \lambda + b \right) = 0$

che abbiamo ottenuto sostituendo a y l’esponenziale e raccogliendola a fattore comune.

Adesso noteremo che non annullandosi mai l’esponenziale, dobbiamo lavorare sul trinomio di secondo grado.

Abbiamo quindi tre casi:

I casi corrispondono rispettivamente a:

$\alpha > \omega_0$ (circuito smorzato)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

$S1 = -\alpha - \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$
$S2 = -\alpha + \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

$x(t) = A_1 \cdot e^{S_1 t} + A_2 \cdot e^{S_2 t}$

Passiamo al caso:

$\alpha = \omega_0$ (circuito con smorzamento critico)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

$S1 = -\alpha = - \omega_0$
$S2 = -\alpha = - \omega_0$

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

$x(t) = (A_1 t + A_2) \cdot e^{-\alpha t}$

Continuiamo con:

$\alpha < \omega_0$ (circuito sottosmorzato)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

$S1 = -\alpha - J \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2 }$
$S2 = -\alpha + J \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2 }$

chiamiamo $\beta$ la quantità reale $\sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2 }$

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

$x(t) = A \cdot e^{-\alpha t} cos(\beta t + \phi)$

Terminiamo per adesso con l’ultimo caso:

$\alpha = 0$ (circuito senza smorzamento)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

$S1 = - J \omega_0$
$S2 = + J \omega_0$

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

$x(t) = A cos(\omega_0 t + \phi)$

Continueremo in un prossimo articolo, parlando di come calcolare le costanti A, per completare la risoluzione del nostro circuito.

Elettrotecnica – Studio di un circuito del secondo ordine – Risoluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine