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Elettrotecnica – Studio di un circuito del secondo ordine – Risoluzione dell’equazione differenziale del secondo ordine

di Fabrizio Mondo
Categorie: Informatica
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Pubblicato il: 2 aprile 2009

Avevamo concluso il nostro percorso con una bella equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti, vediamo di risolverla.

frac{delta^2 i(t)}{delta t^2} + 2alpha cdot frac{delta i(t)}{delta t} + omega_0^2 cdot i(t) = 0

Vediamo come agire.

Di questa equazione differenziale, cerchiamo una soluzione nella forma y= e^{lambda x} , possiamo quindi scrivere:

e^{lambda x } left( lambda^2 + a lambda + b right) = 0

che abbiamo ottenuto sostituendo a y l’esponenziale e raccogliendola a fattore comune.

Adesso noteremo che non annullandosi mai l’esponenziale, dobbiamo lavorare sul trinomio di secondo grado.

Abbiamo quindi tre casi:

  1. Soluzioni reali e distinte
  2. Soluzioni reali e coincidenti
  3. Soluzioni complesse coniugate

I casi corrispondono rispettivamente a:

alpha > omega_0 (circuito smorzato)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

S1 = -alpha - sqrt{alpha^2 - omega_0^2}
S2 = -alpha + sqrt{alpha^2 - omega_0^2}

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

x(t) = A_1 cdot e^{S_1 t} + A_2 cdot e^{S_2 t}

Passiamo al caso:

alpha = omega_0 (circuito con smorzamento critico)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

S1 = -alpha = - omega_0
S2 = -alpha = - omega_0

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

x(t) = (A_1 t + A_2) cdot e^{-alpha t}

Continuiamo con:

alpha < omega_0 (circuito sottosmorzato)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

S1 = -alpha - J sqrt{omega_0^2 - alpha^2 }
S2 = -alpha + J sqrt{omega_0^2 - alpha^2 }

chiamiamo beta la quantità reale sqrt{omega_0^2 - alpha^2 }

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

x(t) = A cdot e^{-alpha t} cos(beta t + phi)

Terminiamo per adesso con l’ultimo caso:

alpha = 0 (circuito senza smorzamento)

In questo caso le due frequenze naturali (ovvero le soluzioni del trinomio di secondo grado associato) sono date da:

S1 = - J omega_0
S2 = + J omega_0

otteniamo nel caso in questione una soluzione del tipo:

x(t) = A cos(omega_0 t + phi)

Continueremo in un prossimo articolo, parlando di come calcolare le costanti A, per completare la risoluzione del nostro circuito.


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