Cominciamo la nostra trattazione di circuiti, partendo non dai circuiti puramente resistivi, ma direttamente da alcune tipologie di circuiti dinamici.
Inizieremo trattando un circuito detto del primo ordine (più avanti scoprirete perchè si chiama così) chiamato RC, ovvero Resistenza-Condensatore.
Partiremo supponendo di non avere nessun generatore nel circuito, ne di tensione ne di corrente, ovvero, come si suole dire, avremo un circuito RC in evoluzione libera.
Esaminiamo il circuito di cui all’immagine sopra.
Applichiamo a questa maglia, contenente una resistenza e un condensatore, la Legge di Kirchhoff applicata alle tensioni.
Otteniamo:
Esprimiamo in funzione della corrente di maglia, la tensione che si ha sulla resistenza R:
La corrente che attraversa la resistenza è necessariamente la stessa che attraversa il condensatore. Ragion per cui, possiamo esprimere la corrente i(t) in funzione della relazione del condensatore che è pari a:
Ottenendo in questo modo:
da cui ancora, dividendo tutto per RC:
Abbiamo ottenuto in questo modo un equazione lineare del primo ordine omogenea a coefficienti costanti (da qui il nome del circuito)
Esprimiamo il coefficiente del termine di derivata 0 (RC), in un altro modo.
RC è il prodotto tra una resistenza elettrica e una capacitanza.
E’ facile verificare che RC ha le dimensioni di un tempo, chiamiamo allora RC, costante di tempo, e diamogli lettera
A questo punto, possiamo esprimere l’equazione differenziale nella sua forma finale:
Questa equazione è del tipo:
dove ”a” è una costante. La soluzione generale di questo caso è ovvia, per separazione di variabili, ossia
da cui la soluzione si ottiene usando l’esponenziale:
Ricordando che il problema di Cauchy impone: 
Di conseguenza possiamo scrivere che:
Che è la soluzione standard di un circuito RC in evoluzione libera.
Parleremo in un priossimo articolo di RLC, passando dal primo al secondo ordine, per poi magari vedere qualche esercizio.
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