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Archive for marzo, 2009

Elettrotecnica – Studio di un circuito del primo ordine – Circuito RC

marzo 31, 2009 10:52 pm

Cominciamo la nostra trattazione di circuiti, partendo non dai circuiti puramente resistivi, ma direttamente da alcune tipologie di circuiti dinamici.

Inizieremo trattando un circuito detto del primo ordine (più avanti scoprirete perchè si chiama così) chiamato RC, ovvero Resistenza-Condensatore.

Partiremo supponendo di non avere nessun generatore nel circuito, ne di tensione ne di corrente, ovvero, come si suole dire, avremo un circuito RC in evoluzione libera.

Esaminiamo il circuito di cui all’immagine sopra.

Applichiamo a questa maglia, contenente una resistenza e un condensatore, la Legge di Kirchhoff applicata alle tensioni.

Otteniamo:

$V_r(t) + V_c(t) = 0$

Esprimiamo in funzione della corrente di maglia, la tensione che si ha sulla resistenza R:

$R \cdot i(t) + V_c(t) = 0$

La corrente che attraversa la resistenza è necessariamente la stessa che attraversa il condensatore. Ragion per cui, possiamo esprimere la corrente i(t) in funzione della relazione del condensatore che è pari a:

$i(t) = C \cdot \frac{\delta V_c(t)}{\delta t}$

Ottenendo in questo modo:

$RC \cdot \frac{\delta V_c(t)}{\delta t} + V_c(t) = 0$

da cui ancora, dividendo tutto per RC:

$\frac{\delta V_c(t)}{\delta t} + \frac{V_c(t)}{RC} = 0$

Abbiamo ottenuto in questo modo un equazione lineare del primo ordine omogenea a coefficienti costanti (da qui il nome del circuito)

Esprimiamo il coefficiente del termine di derivata 0 (RC), in un altro modo.

RC è il prodotto tra una resistenza elettrica e una capacitanza.

E’ facile verificare che RC ha le dimensioni di un tempo, chiamiamo allora RC, costante di tempo, e diamogli lettera $\tau$

A questo punto, possiamo esprimere l’equazione differenziale nella sua forma finale:

$\frac{\delta V_c(t)}{\delta t} + \frac{V_c(t)}{\tau} = 0$

Questa equazione è del tipo:

$y' + a y =0$

dove ”a” è una costante. La soluzione generale di questo caso è ovvia, per separazione di variabili, ossia

$\frac{dy}{dx} = - a y \rightarrow \int_{y_0}^{y} \frac{dy}{y}$
$= -a \int_{x_0}^{x} dx \rightarrow \ln (y) - ln(y_0) = -a \cdot (x - x_0) \rightarrow \ln (\frac{y}{y_0}) = -a \cdot (x - x_0)$

da cui la soluzione si ottiene usando l’esponenziale:

$y = y_0 \cdot e^{-a \cdot (x-x_0)}$

Ricordando che il problema di Cauchy impone: $y(x=x_0)=y_0$ , allora la soluzione non è una famiglia di curve ma è unica:

$y = y_0 \cdot e^{- a \cdot (x-x_0)}$ .

Di conseguenza possiamo scrivere che:

$V_c(t) = V_c(0) \cdot e^{\frac{-t}{\tau}}$ .

Che è la soluzione standard di un circuito RC in evoluzione libera.

Parleremo in un priossimo articolo di RLC, passando dal primo al secondo ordine, per poi magari vedere qualche esercizio.

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Elettrotecnica – Concetti Basilari – L’esigenza di un modello lineare

1:17 pm

Abbiamo iniziato un percorso nel mondo dell’elettrotecnica, presentando, anche matematicamente, alcune grandezze, ovvero la carica, la corrente, la tensione, la potenza e l’energia.

Chiaramente, le informazioni rese disponibili in quell’articolo sono solo introduttive, poco complete e chiaramente non esaustive. Si rimanda ai rispettivi articoli di wikipedia, o di una qualsiasi altra enciclopedia per una più completa trattazione. (tutto questo a scanso di equivoci)

Ci muoveremo nei prossimi articoli a risolvere problemi di diverso tipo, con o senza l’aiuto di commenti e spiegazioni successive alla stesura.

In generale però, dovremmo prima capire, come si deve comportare un ingegnere nello svolgere un esercizio di elettrotecnica, che sia più o meno complicato.

Mostriamo uno schema, che esprime i principali passaggi che si dovrebbero fare nel risolvere un esercizio di teoria dei circuiti.

Schema 01
(mi scuso per la grafica, di meglio non so fare…)

Il primo passaggio è la visualizzazione del problema. Guardiamo il circuito e cerchiamo di capire gli elementi principali, con cosa abbiamo a che fare e in che campo ci troviamo. Generatori dipendenti, indipendenti? Costanti o sinusoidali? Circuiti con componenti attivi? Passivi? E cosi via. Questo è possibile farlo in un primo momento, anche solo visivamente.

Il secondo passaggio è quello della sintesi di una soluzione. Qual è il nostro obiettivo? Cosa vogliamo ottenere? Abbiamo a disposizione delle procedure standard d’azione?

Il terzo passaggio è quello della stesura effettiva di uno schema di lavoro. Attribuiamo (anche in modo prolisso) nomi e variabili a tutto quello che è possibile e cerchiamo a questo punto di buttare giù delle equazioni che “raccontino” il circuito.

Il quarto passaggio è quello della semplificazione e dell’attuazione dello schema. Possiamo trasformare quanto abbiamo in qualcosa di più semplice? Possiamo cominciare ad applicare le regole ricavate dal punto 3.

Il quinto passaggio è abbastanza meccanico. Dobbiamo eseguire le operazioni e calcolare i risultati.

Il sesto passaggio è l’effettiva risoluzione del problema. Dobbiamo ricavare una soluzione il quanto più possibile coerente.

Il settimo passaggio è la verifica della validità della soluzione. In sede di compito, non è chiaramente possibile confrontare la soluzione che abbiamo con quella reale. Potremmo avere sbagliato qualcosa in uno QUALSIASI dei punti precedenti, compresa addirittura l’ispezione visiva! A questo punto allora occorre essere puntigliosi e verificare tutto, compresa la coerenza dimensionale.

L’ottavo passaggio è la cosidetta prova del 9. Ripetiamo da capo i passaggi che portano dai valori conosciuti a priori, a ciò che vogliamo ottenere. Molto spesso si notano errori concettuali o di calcolo.

Nel prossimo articolo, tratteremo un esempio di risoluzione di esercizio da compito. Cominceremo con un circuito molto semplice, un semplice RC. Spiegheremo come ottenere tutte le informazioni possibili, per poi passare ad argomentazioni più complesse. Questi articoli non vogliono essere un espansione di un libro di testo, ma un modo per cercare di comprendere e fare comprendere l’approccio all’elettrotecnica, con delle conoscenze di base, come all’articolo precedente.

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Elettrotecnica – Concetti basilari

marzo 30, 2009 2:00 am

Circuito resistivo

Carissimi utenti del mio blog, in questo momento devo ammettere di ritrovarmi in un altra di quelle fasi della vita che mi impediscono di essere alquanto assiduo nella stesura di articoli dedicati alla mia passione principale.

In questo momento la mia priorità è superare un esame di elettrotecnica, ostico per chi come me alla fine non si sente estremamente attratto da questo campo, ma essendo uno dei sei scalini che mi separano dalla laurea in ingegneria informatica (cinque materie e la tesi), devo affrontarlo e superarlo con forza, vigore e dignità.

Cominciamo questi post dedicati all’elettrotecnica, introducendo alcune caratteristiche generali, ovvero Corrente, Tensione, Energia e Potenza, almeno nelle loro concezioni matematiche basilari, per poi magari passare ai componenti circuitali.

Carica elettrica

La carica elettrica è una quantità di elettricità, responsabile dei fenomeni elettrici. Essa è una quantità DISCRETA, in multipli della carica dell’elettrone.

Si misura in COULOMB.

Corrente elettrica

Per corrente elettrica possiamo identificare il flusso di carica nel tempo, attraverso una superficie.

Si misura in AMPERE.

Con tale definizione possiamo scrivere che una corrente i è data da:

$i = \frac{\delta q}{\delta t}$