Scomporre i naturali in somme algebriche di potenze di 3
dicembre 18, 2006 8:24 pm
Mi sono leggermente bloccato sulla risoluzione di un teorema alquanto particolare… che mi è sorto in testa durante la creazione di questa pagina.
Ovvero: “è possibile scomporre tutti i numeri naturali in somme algebriche di potenze di 3, usando ogni potenza una volta sola?“.
Fino ad oggi, empiricamente, la cosa funziona… ho provato manualmente con numeri piccoli, poi via via sempre più grandi, non riuscendo a trovare un controesempio. So che la dimostrazione per forza bruta non vale niente, ma le migliori teorie induttive nascono esaminando una certa proprietà caso per caso, per poi vedere che è sempre vera… ad esempio:
e cosi via per tutti gli altri numeri.. si, ma perchè è possibile solo con il numero 3?
C’è da dire che ciò è fattibile anche con le potenze di due (basta convertire il numero in binario e prendere le potenze corrispondenti agli 1), ma nel caso del 2 NON si utilizzano sottrazioni, ma solo somme.
Per tutti gli altri numeri, trovare una sequenza di somme e sottrazioni è impossibile.
Che qualcuno mi illumini….
4 Responses to “Scomporre i naturali in somme algebriche di potenze di 3”
Ogni Naturale è esprimibile in base 3.
Come avviene per ogni base n,ogni numero è dato da una somma del tipo
c_0*a_0+c_1*a_1+c_2*a_2…. dove c_i è un coefficente che va da 0 a n-1 e a_i assume valore 0 o di 1.
Nel caso della base 3 quindi c_i va da 0 a 2 e a_i esprime la presenza o l’assenza della potenza di 3 nel computo della somma.
Ti chiederai,cosa c’entra questo discorso ?
Semplice,il tuo problema è dimostrare che ogni naturale è esprimibile come somma di prodotti di potenze di 3 prese una volta sola,per coefficenti che hanno come possibili valori :0,1,-1.
Nulla di più simile al discorso di prima sui numeri in base 3.
La procedura per esprimere qualsiasi numero in questo modo,è la seguente:
prendi l’intero,portalo in base 3; considerando ogni cifra,se ci sono potenze di 3 moltiplicate per 2,basta sommarne un’altra (quindi si incrementerebbe il coefficente della potenza successiva) e toglierla (portandone a -1 il coefficente).
Se vi sono più coefficenti posti a 2 su cifre adiacenti,nella somma basta considerare il riporto e poi sottrarre,riuscirai prima o poi ad avere come coefficenti delle potenze di 3 soltanto -1,0 e 1.
Poichè puoi esprimere ogni naturale come numero a potenza di 3,puoi sempre usare questa procedura ed ottenere lo stesso numero in termini di
” somme algebriche di potenze di 3, usando ogni potenza una volta sola”.
Ti chiederai perchè non è possibile col 4,chiaro,nel caso dei numeri in base 4 le cifre sono ben 4: 0,1,2 e 3,quindi con un rimaneggiamento simile a quello di sopra potresti soltanto avere come coefficenti delle potenze di 4 soltanto -1,0,1,2 oppure -2,-1,0,1 ma sempre 4.
Il concetto è analogo per numeri maggiori.
Porto un esempio :
35=1022 (b3)
=1*27 + 0*9 + 2*3 + 2*1 (b10)
1022 +1 -1 (b3)= 1100 -1 (b3)
= 1*27 + 1*9 + 0*3 -1*1 (b10)=
27+9-1
c.v.d.
Grandissimo Rino!
Sapevo che avresti risolto l’arcano.. semplicemente mitico!
[...] ancora il primo post che ho fatto con nostalgia..Non avrei immaginato certo che dopo quel post sarebbero poi nati i 50 articoli [...]
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